不等式 $ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx \geq 0$ が任意の実数 $x, y, z$ に対して常に成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

不等式 $ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx \geq 0$ が任意の実数 $x, y, z$ に対して常に成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を以下のように変形する。

$ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx \geq 0$

両辺を2倍する。

$2ax^2 + 2y^2 + 2az^2 - 2xy - 2yz - 2zx \geq 0$

式を平方完成の形にする。

$ax^2 - 2xy + \frac{1}{a}y^2 + 2y^2 - \frac{1}{a}y^2 - 2yz + \frac{a}{2}z^2 + 2az^2 - \frac{a}{2}z^2 - 2zx + ax^2 \geq 0$

上記を整理すると

$a(x - \frac{y}{a})^2 + (2-\frac{1}{a})y^2 + (\frac{3a}{2})z^2 -2yz - 2zx \geq 0$

さらに平方完成をすすめる。

$2ax^2 + 2y^2 + 2az^2 - 2xy - 2yz - 2zx \geq 0$

$a(x^2- \frac{1}{a}xy -\frac{1}{a}zx) + y^2 - yz + z^2 \geq 0$

与式を以下のように変形する。

$2ax^2+2y^2+2az^2-2xy-2yz-2zx \geq 0$

$a(x^2+z^2) + y^2 -(xy+yz+zx) \geq 0$

$a(x^2 + z^2) + y^2 - xz - y(x+z) \ge 0$

$a(x^2+z^2) -(x+z)y + y^2-zx \geq 0$

$ax^2 + y^2 + az^2 -xy - yz - zx = a(x^2 + z^2) + y^2 -xy - yz - zx \ge 0$

与式を $x, y, z$ の二次形式とみなして、

$Q(x, y, z) = ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz -zx \geq 0$

この二次形式が常に非負となる条件は、対応する対称行列の固有値がすべて非負となることである。

$A = \begin{pmatrix} a & -1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1 & -1/2 \\ -1/2 & -1/2 & a \end{pmatrix}$

この行列が半正定値となるための条件を求める。

$A$ の全ての主小行列式が非負である必要がある。

1次主小行列式: $a \geq 0$, $1 \geq 0$

2次主小行列式: $a-\frac{1}{4} \geq 0$, つまり $a \geq \frac{1}{4}$

3次主小行列式:

$a(a - \frac{1}{4}) + \frac{1}{2}(-\frac{a}{2} - \frac{1}{4}) - \frac{1}{2}(\frac{1}{4}+\frac{a}{2}) = a^2 - \frac{a}{4} - \frac{a}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{8} - \frac{a}{4} = a^2 - \frac{3}{4}a - \frac{1}{4}$

$\geq 0$

$a^2 - \frac{3}{4}a - \frac{1}{4} \geq 0$

$4a^2 - 3a -1 \geq 0$

$(4a+1)(a-1) \geq 0$

$a \leq -\frac{1}{4}$ or $a \geq 1$

$a \geq \frac{1}{4}$ より $a \geq 1$

3. 最終的な答え

$a \geq 1$