(1) 3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 50 = 0$ の実数解をすべて求めよ。 (2) 実数 $p$, $q$ が $p+q = pq$ を満たすとき、$X = pq$ とおいて、$p^3 + q^3$ を $X$ で表せ。 (3) 条件 $p^3 + q^3 = 50$, $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, $p < q$ を満たす $0$ でない実数の組 $(p, q)$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

(1) 3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 50 = 0$ の実数解をすべて求めよ。

(2) 実数 $p$, $q$ が $p+q = pq$ を満たすとき、$X = pq$ とおいて、$p^3 + q^3$ を $X$ で表せ。

(3) 条件 $p^3 + q^3 = 50$, $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, $p < q$ を満たす $0$ でない実数の組 $(p, q)$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 3x^2 - 50 = 0$ について、整数解を探す。

$x = 5$ を代入すると、

$5^3 - 3(5^2) - 50 = 125 - 75 - 50 = 0$

したがって、$x = 5$ は解である。

$x^3 - 3x^2 - 50$ を $x - 5$ で割ると、

$x^3 - 3x^2 - 50 = (x - 5)(x^2 + 2x + 10)$

2次方程式 $x^2 + 2x + 10 = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$D = 2^2 - 4(1)(10) = 4 - 40 = -36 < 0$

したがって、この2次方程式は実数解を持たない。

よって、実数解は $x = 5$ のみである。

(2) $p + q = pq = X$ である。

$p^3 + q^3 = (p + q)^3 - 3pq(p + q) = X^3 - 3X(X) = X^3 - 3X^2$

(3) $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ より、$\frac{p+q}{pq} = 1$ 。

$p + q = pq$ であるから、$pq = p + q \neq 0$ である。

$X = pq$ より、$p + q = X$ 。

したがって、$p^3 + q^3 = 50$ と (2) の結果より、$X^3 - 3X^2 = 50$ となる。

(1) より、$X^3 - 3X^2 - 50 = 0$ の実数解は $X = 5$ のみである。

$p + q = 5$, $pq = 5$ より、$p$, $q$ は $t^2 - 5t + 5 = 0$ の解である。

$t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(1)(5)}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$

$p < q$ であるから、$p = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$, $q = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ である。

これらは確かに $0$ でない実数である。

3. 最終的な答え

(1) $x = 5$

(2) $p^3 + q^3 = X^3 - 3X^2$

(3) $(p, q) = \left(\frac{5 - \sqrt{5}}{2}, \frac{5 + \sqrt{5}}{2}\right)$