不等式 $ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx \geq 0$ が任意の実数 $x, y, z$ に対して常に成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

不等式 $ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx \geq 0$ が任意の実数 $x, y, z$ に対して常に成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形します。

$x$ についての2次式と見て平方完成を目指します。

$ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx \geq 0$

$a(x^2 - \frac{1}{a}x(y+z)) + y^2 + az^2 - yz \geq 0$

$a(x - \frac{y+z}{2a})^2 - a(\frac{y+z}{2a})^2 + y^2 + az^2 - yz \geq 0$

$a(x - \frac{y+z}{2a})^2 - \frac{(y+z)^2}{4a} + y^2 + az^2 - yz \geq 0$

$a(x - \frac{y+z}{2a})^2 + y^2 - \frac{y^2 + 2yz + z^2}{4a} + az^2 - yz \geq 0$

$a(x - \frac{y+z}{2a})^2 + \frac{4ay^2 - y^2 - 2yz - z^2 + 4a^2z^2 - 4ayz}{4a} \geq 0$

$a(x - \frac{y+z}{2a})^2 + \frac{(4a-1)y^2 - (4a+2)yz + (4a^2-1)z^2}{4a} \geq 0$

ここで、$y$ と $z$ についての2次式が常に0以上となる条件を考えます。

$A = (4a-1)y^2 - (4a+2)yz + (4a^2-1)z^2$ とおくと、$A \geq 0$ となるためには、$4a-1 > 0$ かつ判別式 $D \leq 0$ である必要があります。

$4a-1 > 0$ より、$a > \frac{1}{4}$

$D = (4a+2)^2 - 4(4a-1)(4a^2-1) \leq 0$

$16a^2 + 16a + 4 - 4(16a^3 - 4a^2 - 4a + 1) \leq 0$

$16a^2 + 16a + 4 - 64a^3 + 16a^2 + 16a - 4 \leq 0$

$-64a^3 + 32a^2 + 32a \leq 0$

$64a^3 - 32a^2 - 32a \geq 0$

$2a^3 - a^2 - a \geq 0$

$a(2a^2 - a - 1) \geq 0$

$a(2a+1)(a-1) \geq 0$

$a > \frac{1}{4}$ より、 $a > 0$

$(2a+1)(a-1) \geq 0$

$a \geq 1$

3. 最終的な答え

$a \geq 1$