$\sin^{-1} \frac{4}{5} = \cos^{-1} x$ を満たす実数 $x$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin^{-1} \frac{4}{5} = \cos^{-1} x$ を満たす実数 $x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin^{-1} \frac{4}{5} = \theta$ とおくと、$\sin \theta = \frac{4}{5}$ である。

ここで、$\theta$ の範囲は $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ である。

$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ より、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left( \frac{4}{5} \right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\theta$ の範囲から $\cos \theta \ge 0$ なので、$\cos \theta = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ である。

よって、$\sin^{-1} \frac{4}{5} = \theta$ より、$\cos^{-1} x = \theta$ なので、

$x = \cos \theta = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{3}{5}$