不等式 $ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx \ge 0$ が任意の実数 $x, y, z$ に対して常に成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx \ge 0$ が任意の実数 $x, y, z$ に対して常に成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

不等式を平方完成します。まず、$x$について整理します。

$ax^2 - (y+z)x + (y^2 + az^2 - yz) \ge 0$

$x$についての2次式と見て、平方完成を行います。

$a \neq 0$ のとき、

$a \left( x - \frac{y+z}{2a} \right)^2 - a \left( \frac{y+z}{2a} \right)^2 + y^2 + az^2 - yz \ge 0$

$a \left( x - \frac{y+z}{2a} \right)^2 - \frac{(y+z)^2}{4a} + y^2 + az^2 - yz \ge 0$

$a \left( x - \frac{y+z}{2a} \right)^2 - \frac{y^2 + 2yz + z^2}{4a} + y^2 + az^2 - yz \ge 0$

$a \left( x - \frac{y+z}{2a} \right)^2 + \frac{4ay^2 + 4a^2z^2 - 4ayz - y^2 - 2yz - z^2}{4a} \ge 0$

$a \left( x - \frac{y+z}{2a} \right)^2 + \frac{(4a-1)y^2 - (4a+2)yz + (4a^2-1)z^2}{4a} \ge 0$

次に、$y$について整理します。

$a \left( x - \frac{y+z}{2a} \right)^2 + \frac{4a-1}{4a} \left( y^2 - \frac{4a+2}{4a-1} yz \right) + \frac{(4a^2-1)}{4a}z^2 \ge 0$

$a \left( x - \frac{y+z}{2a} \right)^2 + \frac{4a-1}{4a} \left( y - \frac{2a+1}{4a-1}z \right)^2 - \frac{4a-1}{4a} \left( \frac{2a+1}{4a-1} z \right)^2 + \frac{4a^2-1}{4a}z^2 \ge 0$

$a \left( x - \frac{y+z}{2a} \right)^2 + \frac{4a-1}{4a} \left( y - \frac{2a+1}{4a-1}z \right)^2 - \frac{(2a+1)^2}{4a(4a-1)} z^2 + \frac{(4a^2-1)}{4a}z^2 \ge 0$

$a \left( x - \frac{y+z}{2a} \right)^2 + \frac{4a-1}{4a} \left( y - \frac{2a+1}{4a-1}z \right)^2 + \frac{(4a^2-1)(4a) - (2a+1)^2}{4a(4a-1)} z^2 \ge 0$

$a \left( x - \frac{y+z}{2a} \right)^2 + \frac{4a-1}{4a} \left( y - \frac{2a+1}{4a-1}z \right)^2 + \frac{16a^3 - 4a - (4a^2+4a+1)}{4a(4a-1)} z^2 \ge 0$

$a \left( x - \frac{y+z}{2a} \right)^2 + \frac{4a-1}{4a} \left( y - \frac{2a+1}{4a-1}z \right)^2 + \frac{16a^3 - 4a^2 - 8a - 1}{4a(4a-1)} z^2 \ge 0$

この不等式が常に成り立つためには、それぞれの項の係数が非負である必要があります。

したがって、$a > 0$ かつ $\frac{4a-1}{4a} > 0$ かつ $\frac{16a^3 - 4a^2 - 8a - 1}{4a(4a-1)} \ge 0$ である必要があります。

$\frac{4a-1}{4a} > 0$ より、$4a-1 > 0$ である必要があるため、$a > \frac{1}{4}$ 。

また、$16a^3 - 4a^2 - 8a - 1 \ge 0$ である必要がある。

$16a^3 - 4a^2 - 8a - 1 = (2a+1)(8a^2 - 6a - 1)$.

したがって、$(2a+1)(8a^2 - 6a - 1) \ge 0$である必要がある。

$8a^2 - 6a - 1 = 0$ となるのは、$a = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 32}}{16} = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{16} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{8}$。

$a > \frac{1}{4}$ であるから、$a \ge \frac{3 + \sqrt{17}}{8}$ となる。

3. 最終的な答え

$a \ge \frac{3 + \sqrt{17}}{8}$