3次方程式 $x^3 - 1 = 0$ の1と異なる解の一つを $\omega$ とする。等式 $x^3 - 3abx + a^3 + b^3 = (x+a+b)(x+a\omega + b\omega^2)(x+a\omega^2 + b\omega)$ を利用して、3次方程式 $x^3 - 6x + 6 = 0$ の解を $\omega$ を用いて表す。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 1 = 0$ の1と異なる解の一つを $\omega$ とする。等式 $x^3 - 3abx + a^3 + b^3 = (x+a+b)(x+a\omega + b\omega^2)(x+a\omega^2 + b\omega)$ を利用して、3次方程式 $x^3 - 6x + 6 = 0$ の解を $\omega$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

与えられた等式 $x^3 - 3abx + a^3 + b^3 = (x+a+b)(x+a\omega + b\omega^2)(x+a\omega^2 + b\omega)$ を利用する。

まず、与えられた方程式 $x^3 - 6x + 6 = 0$ と、等式の左辺 $x^3 - 3abx + a^3 + b^3$ を比較する。

係数を比較すると、

$-3ab = -6$ より $ab = 2$

$a^3 + b^3 = 6$

$ab = 2$ より $b = \frac{2}{a}$ となるので、$a^3 + b^3 = 6$ に代入して

$a^3 + (\frac{2}{a})^3 = 6$

$a^3 + \frac{8}{a^3} = 6$

両辺に $a^3$ をかけて

$a^6 + 8 = 6a^3$

$a^6 - 6a^3 + 8 = 0$

$(a^3)^2 - 6(a^3) + 8 = 0$

$(a^3 - 2)(a^3 - 4) = 0$

よって、$a^3 = 2$ または $a^3 = 4$

$a^3 = 2$ のとき、$a = \sqrt[3]{2}$ であり、$b = \frac{2}{\sqrt[3]{2}} = \frac{2\sqrt[3]{4}}{2} = \sqrt[3]{4}$

$a^3 = 4$ のとき、$a = \sqrt[3]{4}$ であり、$b = \frac{2}{\sqrt[3]{4}} = \frac{2\sqrt[3]{2}}{2} = \sqrt[3]{2}$

いずれの場合も $a = \sqrt[3]{2}$、$b = \sqrt[3]{4}$ または $a = \sqrt[3]{4}$、$b = \sqrt[3]{2}$ となる。

$x^3 - 6x + 6 = 0$ の解は $(x+a+b)(x+a\omega + b\omega^2)(x+a\omega^2 + b\omega) = 0$ より

$x = -(a+b), -(a\omega + b\omega^2), -(a\omega^2 + b\omega)$

$a = \sqrt[3]{2}$、$b = \sqrt[3]{4}$ のとき

$x = -(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}), -(\sqrt[3]{2}\omega + \sqrt[3]{4}\omega^2), -(\sqrt[3]{2}\omega^2 + \sqrt[3]{4}\omega)$

3. 最終的な答え

$x = -(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}), -(\sqrt[3]{2}\omega + \sqrt[3]{4}\omega^2), -(\sqrt[3]{2}\omega^2 + \sqrt[3]{4}\omega)$