不等式 $ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx \geq 0$ が任意の実数 $x, y, z$ に対して常に成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

不等式 $ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx \geq 0$ が任意の実数 $x, y, z$ に対して常に成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を以下のように変形する。

$ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx \geq 0$

両辺に2を掛ける。

$2ax^2 + 2y^2 + 2az^2 - 2xy - 2yz - 2zx \geq 0$

式を整理して平方完成を目指す。

$ax^2 - 2xy + \frac{1}{a}y^2 + az^2 - 2zx + \frac{1}{a}x^2 + y^2 - \frac{1}{a}y^2 + z^2 - \frac{1}{a}x^2 - 2yz \geq 0$

$a(x-\frac{y}{a})^2+ (\frac{2a-1}{a})y^2 + (a-\frac{1}{a})z^2-2yz -2zx+ az^2$

式を平方完成の形にすると、

$a(x-\frac{y+z}{a})^2 - \frac{(y+z)^2}{a} + y^2 + az^2 - yz \ge 0$

$a(x-\frac{y+z}{a})^2 + (1-\frac{1}{a})y^2 + (a-\frac{1}{a})z^2 - 2yz \ge 0$

または

$ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx = \frac{1}{2} (x^2(2a) + y^2(2) + z^2(2a) - 2xy - 2yz - 2zx)$

$= \frac{1}{2} [ax^2 - 2x(y+z)/2 + \frac{(y+z)^2}{4a}]- \frac{(y+z)^2}{8a} + y^2 + az^2 - yz$

$\frac{1}{2}((2a-1)x^2+(2-1)y^2+(2a-1)z^2 -2xy-2yz-2zx)$

式を変形する。

$F(x,y,z) = ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx$

$F(x,y,z) = ax^2 -x(y+z) + y^2 + az^2 -yz$

$x$について平方完成

$F(x,y,z) = a(x-\frac{y+z}{2a})^2 - \frac{(y+z)^2}{4a} + y^2 + az^2 - yz$

$F(x,y,z) = a(x-\frac{y+z}{2a})^2 + (1-\frac{1}{4a})y^2+ (a-\frac{1}{4a})z^2-\frac{3}{2}yz$

$a>0$として, $1-\frac{1}{4a}>0$でなければならない

$4a>1$ -> $a>\frac{1}{4}$

$1-\frac{1}{4a} = \frac{4a-1}{4a}$

$a-\frac{1}{4a}=\frac{4a^2-1}{4a}$

よって、$A\frac{4a-1}{4a}y^2+B\frac{4a^2-1}{4a}z^2-\frac{3}{2}yz \geq 0$が成り立つ必要がある

$a>0$とする.$ax^2+by^2+cz^2 \geq0$

この不等式が成り立つ必要十分条件は

$a> \frac{1}{2}$.

3. 最終的な答え

$a \geq \frac{1}{2}$