不等式 $ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx \geq 0$ が任意の実数 $x, y, z$ に対して常に成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx \geq 0$ が任意の実数 $x, y, z$ に対して常に成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を平方完成させることを目指します。まず、$x$ に関して整理すると、

$ax^2 - (y+z)x + (y^2 + az^2 - yz) \geq 0$

となります。

この式が任意の実数 $x$ に対して成り立つためには、$ax^2 - (y+z)x + (y^2 + az^2 - yz)$ を $x$ の2次関数と見たとき、判別式 $D$ が $D \leq 0$ であることが必要十分条件です。ただし、$a>0$ のときです。$a=0$のときは、$y^2-xy-yz \ge 0$となり、$y=1, x=2, z=2$のとき、$1-2-2=-3<0$となるので、$a>0$でないといけない。

判別式 $D$ は

$D = (y+z)^2 - 4a(y^2 + az^2 - yz)$

$= y^2 + 2yz + z^2 - 4ay^2 - 4a^2z^2 + 4ayz$

$= (1-4a)y^2 + (2+4a)yz + (1-4a^2)z^2$

$D \leq 0$ であるためには、$E= -D = (4a-1)y^2 - (4a+2)yz + (4a^2-1)z^2 \ge 0$が成り立つ必要があります。

$z=0$の時、$E=(4a-1)y^2 \ge 0$から$4a-1 \ge 0$より$a \ge \frac{1}{4}$が必要です。

$z \neq 0$のとき、$t = \frac{y}{z}$とおくと、

$(4a-1)t^2 - (4a+2)t + (4a^2-1) \geq 0$

が任意の実数 $t$ に対して成り立つ必要があります。このための必要十分条件は、$4a-1 > 0$ かつ判別式 $D'$ が $D' \leq 0$ となることです。

$4a-1 > 0$ より $a > \frac{1}{4}$。

$D' = (4a+2)^2 - 4(4a-1)(4a^2-1) = 16a^2 + 16a + 4 - 4(16a^3 - 4a^2 - 4a + 1) = 16a^2 + 16a + 4 - 64a^3 + 16a^2 + 16a - 4 = -64a^3 + 32a^2 + 32a = -32a(2a^2-a-1) = -32a(2a+1)(a-1)$

$D' \leq 0$ より $-32a(2a+1)(a-1) \leq 0$

$a(2a+1)(a-1) \geq 0$

$a > \frac{1}{4}$ より $a > 0$ であるため、$(2a+1)(a-1) \geq 0$ を満たす必要があります。

$2a+1 > 0$ より $a > 1$ が必要。

3. 最終的な答え

$a \geq 1$