問題7は、式 $(x-b)(x-c)(b-c) + (x-c)(x-a)(c-a) + (x-a)(x-b)(a-b)$ を簡単にせよという問題です。 問題8は、整数 $p, q$ に対して $p \circ q = p + (-1)^p q$ と定義するとき、 $((1 \circ 2) \circ 3) \circ 4$ の値を求めよという問題です。ここで、注記として $(-1)^p = 1$ とせよとあります。

1. 問題の内容

問題7は、式 $(x-b)(x-c)(b-c) + (x-c)(x-a)(c-a) + (x-a)(x-b)(a-b)$ を簡単にせよという問題です。

問題8は、整数 $p, q$ に対して $p \circ q = p + (-1)^p q$ と定義するとき、 $((1 \circ 2) \circ 3) \circ 4$ の値を求めよという問題です。ここで、注記として $(-1)^p = 1$ とせよとあります。

2. 解き方の手順

問題7：

与えられた式を展開して整理します。

$(x-b)(x-c)(b-c) = (x^2 - (b+c)x + bc)(b-c) = (b-c)x^2 - (b^2 - c^2)x + bc(b-c)$

$(x-c)(x-a)(c-a) = (x^2 - (c+a)x + ca)(c-a) = (c-a)x^2 - (c^2 - a^2)x + ca(c-a)$

$(x-a)(x-b)(a-b) = (x^2 - (a+b)x + ab)(a-b) = (a-b)x^2 - (a^2 - b^2)x + ab(a-b)$

これらの式を足し合わせると

$(b-c+c-a+a-b)x^2 - (b^2-c^2+c^2-a^2+a^2-b^2)x + bc(b-c) + ca(c-a) + ab(a-b)$

$= 0x^2 - 0x + bc(b-c) + ca(c-a) + ab(a-b)$

$= b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 + a^2b - ab^2$

$= b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 + a^2b - ab^2$

$= (b-c)(bc) + (c-a)(ca) + (a-b)(ab)$

$= (b-c)(a(a-c) + b(c-b) + c(b-a))$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

$= -(a-b)(bc - c^2 -b^2 + bc)$

$= a^2b+ b^2c + c^2a - a^2c - b^2a - c^2b = (a-b)(b-c)(a-c)$

この式の変形は、因数分解の知識を用いて行われます。

$b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 + a^2b - ab^2 = -(a-b)(b-c)(c-a) = (a-b)(b-c)(c-a) (-1) = (a-b)(b-c)(c-a)$

最終的な答えは 0 になります。

$b^2 c - b c^2 + a c^2 - a^2 c + a^2 b - a b^2$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

$= 0$

問題8：

$p \circ q = p + (-1)^p q$ という演算を定義します。 注記より、$(-1)^p = 1$ です。

まず、$1 \circ 2$ を計算します。

$1 \circ 2 = 1 + (-1)^1 \cdot 2 = 1 - 2 = -1$

次に、$(1 \circ 2) \circ 3 = (-1) \circ 3$ を計算します。

$(-1) \circ 3 = -1 + (-1)^{-1} \cdot 3 = -1 - 3 = -4$

最後に、 $((-1) \circ 3) \circ 4 = (-4) \circ 4$ を計算します。

$(-4) \circ 4 = -4 + (-1)^{-4} \cdot 4 = -4 + 1 \cdot 4 = -4 + 4 = 0$

3. 最終的な答え

問題7の答え：0

問題8の答え：0