次の7つの式を因数分解する問題です。 (1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$ (2) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$ (3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$ (4) $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ (5) $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$ (6) $(a + b + c)(ab + bc + ca) - abc$ (7) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の7つの式を因数分解する問題です。

(1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$

(2) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$

(3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$

(4) $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$

(5) $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$

(6) $(a + b + c)(ab + bc + ca) - abc$

(7) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$

2. 解き方の手順

(1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$

まず、後ろの3項を $-(y^2 - 2y + 1)$ としてまとめると、

$4x^2 - (y^2 - 2y + 1) = 4x^2 - (y - 1)^2$

これは平方の差の形なので、

$4x^2 - (y - 1)^2 = (2x)^2 - (y - 1)^2 = (2x + (y - 1))(2x - (y - 1)) = (2x + y - 1)(2x - y + 1)$

(2) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$

$x^2 - x = A$ とおくと、

$A^2 - 8A + 12 = (A - 2)(A - 6)$

ここで、$A$ を $x^2 - x$ に戻すと、

$(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 6) = (x - 2)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$

(3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$

$x^2$ でまとめると、

$x^3 + ax^2 - x^2 - a = x^2(x + a) - (x^2 + a)$ ではありません。

$x^3 + ax^2 - x^2 - a = x^2(x+a) -1(x^2+a)$　でもありません。

以下のように2つずつまとめる。

$x^3 + ax^2 - x^2 - a = x^2(x + a) - (x^2 + a)$

$x^3 - x^2 +ax^2 - a$

$= x^2(x-1) + a(x^2-1)$

$= x^2(x-1) + a(x-1)(x+1)$

$= (x-1)(x^2+a(x+1))$

$= (x-1)(x^2+ax+a)$

(4) $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$

$6x^2 + 7xy + 2y^2 = (2x+y)(3x+2y)$ であることから、

$(2x+y+a)(3x+2y+b)$と仮定し、展開すると

$6x^2 + 7xy + 2y^2 + (3a+2b)x + (2a+b)y + ab$

これと$6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$を比較すると

$3a+2b = 1, 2a+b = 0, ab = -2$

$b = -2a$

$3a + 2(-2a) = 1$

$-a = 1$

$a=-1, b=2$

したがって、$(2x+y-1)(3x+2y+2)$

(5) $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$

$3x^2 + 2xy - y^2 = (3x - y)(x + y)$ であることから、

$(3x - y+a)(x+y+b)$と仮定し、展開すると

$3x^2 + 2xy - y^2 + (3b+a)x + (a-b)y + ab$

これと$3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$を比較すると

$3b+a = 7, a-b = 3, ab = 4$

$a = b+3$

$3b + b+3 = 7$

$4b = 4$

$b = 1$

$a = 4$

したがって、$(3x-y+4)(x+y+1)$

(6) $(a + b + c)(ab + bc + ca) - abc$

展開すると、

$a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a - abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

$a$ について整理すると、

$a^2(b+c) + a(b^2 + 2bc + c^2) + b^2c + bc^2 = a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c) = (b+c)(a^2 + a(b+c) + bc) = (b+c)(a+b)(a+c)$

= $(a+b)(b+c)(c+a)$

(7) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$

展開すると、

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - a^2b + ca^2 - cb^2$

$a$ について整理すると、

$a^2(c-b) + a(b^2 - c^2) + bc^2 - b^2c = a^2(c-b) + a(b-c)(b+c) + bc(c-b) = (c-b)(a^2 - a(b+c) + bc) = (c-b)(a-b)(a-c) = -(b-c)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

(1) $(2x + y - 1)(2x - y + 1)$

(2) $(x - 2)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$

(3) $(x-1)(x^2+ax+a)$

(4) $(2x+y-1)(3x+2y+2)$

(5) $(3x-y+4)(x+y+1)$

(6) $(a+b)(b+c)(c+a)$

(7) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

あるいは、 $(a-b)(c-b)(c-a)$

あるいは、 $(b-a)(b-c)(c-a)$