与えられた式 $\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}$ を簡単にします。有理化を行う必要があります。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}$ を簡単にします。有理化を行う必要があります。

2. 解き方の手順

まず、分母を$(1+\sqrt{5})$と$\sqrt{6}$の2つの項に分けて考え、有理化を行います。

$\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}} = \frac{1}{(1+\sqrt{5})+\sqrt{6}}$

分母と分子に$(1+\sqrt{5})-\sqrt{6}$を掛けます。

$\frac{1}{(1+\sqrt{5})+\sqrt{6}} \times \frac{(1+\sqrt{5})-\sqrt{6}}{(1+\sqrt{5})-\sqrt{6}} = \frac{(1+\sqrt{5})-\sqrt{6}}{(1+\sqrt{5})^2 - (\sqrt{6})^2}$

$(1+\sqrt{5})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\sqrt{5}$

$(\sqrt{6})^2 = 6$

$\frac{(1+\sqrt{5})-\sqrt{6}}{6 + 2\sqrt{5} - 6} = \frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}{2\sqrt{5}}$

次に、分母の$\sqrt{5}$を有理化するために、分母と分子に$\sqrt{5}$を掛けます。

$\frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}{2\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}+5-\sqrt{30}}{2 \times 5} = \frac{\sqrt{5}+5-\sqrt{30}}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{5+\sqrt{5}-\sqrt{30}}{10}$