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与えられた三次方程式 $x^3 - 3x - 2 = 0$ の解を求めます。

代数学三次方程式因数分解解の公式重解
2025/4/25

1. 問題の内容

与えられた三次方程式 x3−3x−2=0x^3 - 3x - 2 = 0 の解を求めます。

2. 解き方の手順

まず、この方程式に整数解があるかどうかを調べます。
xx に簡単な整数を代入してみると、x=−1x = -1 が解であることがわかります。
(−1)3−3(−1)−2=−1+3−2=0(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0
したがって、x+1x + 1 は x3−3x−2x^3 - 3x - 2 の因数です。
次に、x3−3x−2x^3 - 3x - 2 を x+1x + 1 で割ります。
筆算または組み立て除法を使うと、次のようになります。
x3−3x−2=(x+1)(x2−x−2)x^3 - 3x - 2 = (x + 1)(x^2 - x - 2)
次に、x2−x−2x^2 - x - 2 を因数分解します。
x2−x−2=(x−2)(x+1)x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
したがって、元の三次方程式は次のように因数分解できます。
x3−3x−2=(x+1)(x−2)(x+1)=(x+1)2(x−2)x^3 - 3x - 2 = (x + 1)(x - 2)(x + 1) = (x + 1)^2 (x - 2)
したがって、x3−3x−2=0x^3 - 3x - 2 = 0 の解は、x+1=0x + 1 = 0 または x−2=0x - 2 = 0 となります。

3. 最終的な答え

x=−1,2x = -1, 2
（x=−1x = -1 は重解）

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