はい、承知いたしました。画像にある2つの数列の問題を解きます。

はい、承知いたしました。画像にある2つの数列の問題を解きます。

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1. 問題の内容**

与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

(1) $a_1 = 1, \frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = 3^{n-1}$

(2) $a_1 = \frac{1}{4}, a_{n+1} = \frac{a_n}{3a_n + 1}$

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2. 解き方の手順**

**(1) の解き方**

$\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = 3^{n-1}$ より、数列 $\left\{ \frac{1}{a_n} \right\}$ の階差数列が $3^{n-1}$ であることがわかります。したがって、$n \geq 2$ のとき、

$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1} = 1 + \sum_{k=0}^{n-2} 3^k = 1 + \frac{1-3^{n-1}}{1-3} = 1 + \frac{3^{n-1}-1}{2} = \frac{3^{n-1}+1}{2}$

$n=1$ のときも $\frac{1}{a_1} = \frac{3^{1-1}+1}{2} = \frac{1+1}{2}=1$ となり成り立つので、

$\frac{1}{a_n} = \frac{3^{n-1}+1}{2}$

よって、$a_n = \frac{2}{3^{n-1}+1}$

**(2) の解き方**

漸化式の両辺の逆数を取ると、

$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{3a_n + 1}{a_n} = 3 + \frac{1}{a_n}$

したがって、$\frac{1}{a_{n+1}} = 3 + \frac{1}{a_n}$ となります。

数列 $\left\{ \frac{1}{a_n} \right\}$ は初項 $\frac{1}{a_1} = 4$, 公差 3 の等差数列なので、

$\frac{1}{a_n} = 4 + (n-1) \times 3 = 3n+1$

よって、$a_n = \frac{1}{3n+1}$

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3. 最終的な答え**

(1) $a_n = \frac{2}{3^{n-1}+1}$

(2) $a_n = \frac{1}{3n+1}$