与えられた式 $\frac{1}{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}$ を簡単にせよ。つまり、分母を有理化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}$ を簡単にせよ。つまり、分母を有理化せよ。

2. 解き方の手順

まず、分母に現れる項の数を減らすことを目指します。$3 + \sqrt{3}$ を一つの塊と見て、$\sqrt{6}$ との差の積を分子と分母にかけます。

$\frac{1}{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}} = \frac{1}{(3+\sqrt{3})+\sqrt{6}}$

分子と分母に $(3+\sqrt{3}) - \sqrt{6}$ を掛けます。

$\frac{1}{(3+\sqrt{3})+\sqrt{6}} \cdot \frac{(3+\sqrt{3})-\sqrt{6}}{(3+\sqrt{3})-\sqrt{6}} = \frac{(3+\sqrt{3})-\sqrt{6}}{(3+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2}$

分母を展開します。

$(3+\sqrt{3})^2 = 3^2 + 2(3)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 9 + 6\sqrt{3} + 3 = 12 + 6\sqrt{3}$

$(\sqrt{6})^2 = 6$

したがって、

$\frac{(3+\sqrt{3})-\sqrt{6}}{(12 + 6\sqrt{3}) - 6} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6 + 6\sqrt{3}} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6(1 + \sqrt{3})}$

次に、$1 + \sqrt{3}$ を有理化するために、$1-\sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6(1 + \sqrt{3})} \cdot \frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} = \frac{(3+\sqrt{3}-\sqrt{6})(1-\sqrt{3})}{6(1^2 - (\sqrt{3})^2)} = \frac{(3+\sqrt{3}-\sqrt{6})(1-\sqrt{3})}{6(1 - 3)} = \frac{(3+\sqrt{3}-\sqrt{6})(1-\sqrt{3})}{6(-2)} = \frac{(3+\sqrt{3}-\sqrt{6})(1-\sqrt{3})}{-12}$

分子を展開します。

$(3+\sqrt{3}-\sqrt{6})(1-\sqrt{3}) = 3 - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3 - \sqrt{6} + \sqrt{18} = -2\sqrt{3} - \sqrt{6} + 3\sqrt{2}$

よって、

$\frac{-2\sqrt{3} - \sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{-12} = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{12}$