与えられた式 $x^6 - 9x^3 + 8$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^6 - 9x^3 + 8$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 = y$ と置換すると、与えられた式は $y^2 - 9y + 8$ となる。

この2次式を因数分解する。

$y^2 - 9y + 8 = (y - 1)(y - 8)$

次に、$y$ を $x^3$ に戻す。

$(y - 1)(y - 8) = (x^3 - 1)(x^3 - 8)$

ここで、$x^3 - 1$ と $x^3 - 8$ はそれぞれ $a^3 - b^3$ の形をしているので、因数分解の公式 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ を用いる。

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

したがって、与えられた式は次のように因数分解できる。

$x^6 - 9x^3 + 8 = (x^3 - 1)(x^3 - 8) = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

3. 最終的な答え

$(x - 1)(x^2 + x + 1)(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$