与えられた8つの式を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた8つの式を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $2ax^2 - 8a$

まず、共通因数 $2a$ をくくり出します。

$2a(x^2 - 4)$

次に、$x^2 - 4$ を $(x+2)(x-2)$ と因数分解します。

(2) $ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2$

項を並び替えて、共通因数でくくり出します。

$ax^2 - bx^2 - ay^2 + by^2$

$x^2(a-b) - y^2(a-b)$

$(a-b)(x^2 - y^2)$

最後に、$x^2 - y^2$ を $(x+y)(x-y)$ と因数分解します。

(3) $(x-4)(3x+1) + 10$

式を展開し、整理します。

$3x^2 + x - 12x - 4 + 10$

$3x^2 - 11x + 6$

この式を因数分解します。

$(3x-2)(x-3)$

(4) $4n^3 + 6n^2 + 2n$

まず、共通因数 $2n$ をくくり出します。

$2n(2n^2 + 3n + 1)$

次に、$2n^2 + 3n + 1$ を因数分解します。

$2n(2n+1)(n+1)$

(5) $x^3 + x^2y - x^2 - y$

項を並び替えて、共通因数でくくり出します。

$x^3 - x^2 + x^2y - y$

$x^2(x-1) + y(x^2 - 1)$

$x^2(x-1) + y(x-1)(x+1)$

$(x-1)(x^2 + y(x+1))$

$(x-1)(x^2 + xy + y)$

(6) $4x^2 - y^2 - 2y - 1$

$4x^2 - (y^2 + 2y + 1)$

$4x^2 - (y+1)^2$

これは平方の差なので、因数分解できます。

$(2x + (y+1))(2x - (y+1))$

$(2x + y + 1)(2x - y - 1)$

(7) $x^2 + 2ax - 3a^2 + 4x + 8a + 3$

式を整理して因数分解します。

$x^2 + (2a+4)x - 3a^2 + 8a + 3$

$x^2 + (2a+4)x + (-3a-1)(a-3)$

$(x - (a-3))(x+(-3a-1))$

$(x-a+3)(x+3a+1)$

(8) $2x^2 - xy - 3y^2 - 3x + 7y - 2$

$2x^2 - x(y+3) - 3y^2 + 7y - 2$

$2x^2 - x(y+3) - (3y-1)(y-2)$

$(2x + (3y-1))(x - (y-2))$

$(2x+3y-1)(x-y+2)$

3. 最終的な答え

(1) $2a(x+2)(x-2)$

(2) $(a-b)(x+y)(x-y)$

(3) $(3x-2)(x-3)$

(4) $2n(2n+1)(n+1)$

(5) $(x-1)(x^2 + xy + y)$

(6) $(2x + y + 1)(2x - y - 1)$

(7) $(x-a+3)(x+3a+1)$

(8) $(2x+3y-1)(x-y+2)$