与えられた3x3行列 $M$ が与えられており、$M^{100}$ を計算せよという問題です。 $M = \begin{bmatrix} xa & xb & xc \\ ya & yb & yc \\ za & zb & zc \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3x3行列 $M$ が与えられており、$M^{100}$ を計算せよという問題です。

$M = \begin{bmatrix} xa & xb & xc \\ ya & yb & yc \\ za & zb & zc \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列 $M$ を $M = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix}$ と分解できることに注目します。

これを $uv$ とおくと、

$M=uv$ (ただし、$u = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ , $v = \begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix}$ )

次に、$M^2$を計算します。

$M^2 = (uv)(uv) = u(vu)v$

ここで、$vu$ はスカラーであることに注意します。つまり、

$vu = \begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = ax + by + cz$

とおけます。

$M^2 = (ax+by+cz)uv = (ax+by+cz)M$

同様に、$M^3 = M^2 M = (ax+by+cz)M^2 = (ax+by+cz)^2 M$

したがって、帰納的に、$M^n = (ax+by+cz)^{n-1} M$ となります。

したがって、 $M^{100} = (ax+by+cz)^{99} M$ となります。

3. 最終的な答え

$M^{100} = (ax+by+cz)^{99} \begin{bmatrix} xa & xb & xc \\ ya & yb & yc \\ za & zb & zc \end{bmatrix}$