$n$次行列 $A$ が与えられたとき、行列 $\begin{bmatrix} E & A \\ O & E \end{bmatrix}$ の二乗、つまり $\begin{bmatrix} E & A \\ O & E \end{bmatrix}^2$ を求めよ。ここで、$E$ は $n$ 次の単位行列、$O$ は $n$ 次の零行列である。

1. 問題の内容

$n$次行列 $A$ が与えられたとき、行列 $\begin{bmatrix} E & A \\ O & E \end{bmatrix}$ の二乗、つまり $\begin{bmatrix} E & A \\ O & E \end{bmatrix}^2$ を求めよ。ここで、$E$ は $n$ 次の単位行列、$O$ は $n$ 次の零行列である。

2. 解き方の手順

行列の二乗を計算するには、行列自体を掛け合わせます。

$\begin{bmatrix} E & A \\ O & E \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} E & A \\ O & E \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E & A \\ O & E \end{bmatrix}$

行列の積は次のように計算できます。

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{bmatrix}$

したがって、

$\begin{bmatrix} E & A \\ O & E \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E & A \\ O & E \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} EE + AO & EA + AH \\ OE + EO & OA + EE \end{bmatrix}$

単位行列と零行列の性質を使うと、$EE=E$, $AO = O$, $OE = O$, $EO=O$, $OA=O$となるため、上記の式は次のようになります。

$\begin{bmatrix} E & A \\ O & E \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E & A \\ O & E \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E + O & A + A \\ O + O & O + E \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E & 2A \\ O & E \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} E & A \\ O & E \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} E & 2A \\ O & E \end{bmatrix}$