## 問題の回答

## 問題の回答

以下に画像に写っている問題の解答を示します。

###

1. 問題の内容

画像には、以下の問題が含まれています。

* 1: 式の展開

* 2: 因数分解

* 3: 角度の変換 (度数法 → 弧度法)

* 4: 角度の変換 (弧度法 → 度数法)

* 6: 三角関数の値 (正弦、余弦、正接)

* 7: 三角比の計算

###

2. 解き方の手順と答え

それぞれの問題について、解き方と答えを以下に示します。

**

1. 式の展開**

(1) $(a+3)^3$

$(a+3)^3 = a^3 + 3a^2(3) + 3a(3^2) + 3^3 = a^3 + 9a^2 + 27a + 27$

(2) $(2x-1)^3$

$(2x-1)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(-1) + 3(2x)(-1)^2 + (-1)^3 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1$

(3) $(x+4)(x^2-4x+16)$

$(x+4)(x^2-4x+16) = x^3 - 4x^2 + 16x + 4x^2 - 16x + 64 = x^3 + 64$

(4) $(2a+3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2)$

$(2a+3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2) = 8a^3 - 12a^2b + 18ab^2 + 12a^2b - 18ab^2 + 27b^3 = 8a^3 + 27b^3$

**

2. 因数分解**

(1) $8x^3 + 27$

$8x^3 + 27 = (2x)^3 + 3^3 = (2x + 3)((2x)^2 - (2x)(3) + 3^2) = (2x+3)(4x^2 - 6x + 9)$

(2) $a^3 - 125b^3$

$a^3 - 125b^3 = a^3 - (5b)^3 = (a - 5b)(a^2 + 5ab + 25b^2)$

(3) $128x^3 + 2y^3$

$128x^3 + 2y^3 = 2(64x^3 + y^3) = 2((4x)^3 + y^3) = 2(4x+y)(16x^2 - 4xy + y^2)$

**

3. 角度の変換 (度数法 → 弧度法)**

度数法から弧度法への変換は、$\theta_{rad} = \theta_{deg} \times \frac{\pi}{180}$ で計算します。

(1) $30^\circ = 30 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$

(2) $45^\circ = 45 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$

(3) $-210^\circ = -210 \times \frac{\pi}{180} = -\frac{7\pi}{6}$

(4) $72^\circ = 72 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$

(5) $420^\circ = 420 \times \frac{\pi}{180} = \frac{7\pi}{3}$

**

4. 角度の変換 (弧度法 → 度数法)**

弧度法から度数法への変換は、$\theta_{deg} = \theta_{rad} \times \frac{180}{\pi}$ で計算します。

(1) $\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \times \frac{180}{\pi} = 60^\circ$

(2) $\frac{11\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \times \frac{180}{\pi} = 330^\circ$

(3) $\frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{8} \times \frac{180}{\pi} = 22.5^\circ$

(4) $-\frac{7\pi}{12} = -\frac{7\pi}{12} \times \frac{180}{\pi} = -105^\circ$

**

6. 三角関数の値 (正弦、余弦、正接)**

(1) $\frac{11\pi}{6}$:

* $\sin(\frac{11\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

* $\cos(\frac{11\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

* $\tan(\frac{11\pi}{6}) = \frac{\sin(\frac{11\pi}{6})}{\cos(\frac{11\pi}{6})} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $-\frac{2\pi}{3}$:

* $\sin(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

* $\cos(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

* $\tan(-\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sin(-\frac{2\pi}{3})}{\cos(-\frac{2\pi}{3})} = \sqrt{3}$

(3) $-\frac{7\pi}{4}$:

* $\sin(-\frac{7\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

* $\cos(-\frac{7\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

* $\tan(-\frac{7\pi}{4}) = \frac{\sin(-\frac{7\pi}{4})}{\cos(-\frac{7\pi}{4})} = 1$

(4) $\frac{3\pi}{2}$:

* $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

* $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

* $\tan(\frac{3\pi}{2})$ は定義されません (無限大)。

**

7. 三角比の計算**

(1) $\cos \theta = -\frac{4}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、 $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.

したがって、$\sin \theta = \pm \frac{3}{5}$.

$\theta$ の範囲が不明なので、2つの解が存在します。

* $\sin \theta = \frac{3}{5}$ の場合、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$

* $\sin \theta = -\frac{3}{5}$ の場合、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$

(2) $\tan \theta = -2\sqrt{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ より、$\cos^2 \theta = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1}{1 + (-2\sqrt{2})^2} = \frac{1}{1+8} = \frac{1}{9}$.

したがって、$\cos \theta = \pm \frac{1}{3}$.

$\theta$ の範囲が不明なので、2つの解が存在します。

* $\cos \theta = \frac{1}{3}$ の場合、$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta = -2\sqrt{2} \times \frac{1}{3} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

* $\cos \theta = -\frac{1}{3}$ の場合、$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta = -2\sqrt{2} \times -\frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

###

3. 最終的な答え

上記に、各問題の答えが記載されています。