三角形ABCにおいて、$AB = \sqrt{2}$、$AC = 5\sqrt{2}$、$\angle BAC = 60^\circ$が与えられている。このとき、$BC$の長さ、三角形ABCの面積、および三角形ABCの内接円の半径を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = \sqrt{2}$、$AC = 5\sqrt{2}$、$\angle BAC = 60^\circ$が与えられている。このとき、$BC$の長さ、三角形ABCの面積、および三角形ABCの内接円の半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) $BC$ の長さ

余弦定理を用いて、$BC$ の長さを求める。余弦定理は、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}$である。

$BC^2 = (\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \cos{60^\circ}$

$BC^2 = 2 + 50 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 52 - 10 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 52 - 10$

$BC^2 = 42$

$BC = \sqrt{42}$

(2) 三角形ABCの面積

三角形の面積は、$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin{\angle BAC}$で求められる。

$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sin{60^\circ}$

$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{10\sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

(3) 三角形ABCの内接円の半径

内接円の半径を$r$とする。三角形の面積は、$S = \frac{1}{2}r(AB + BC + CA)$でも表される。

$S = \frac{5\sqrt{3}}{2}$であり、$AB = \sqrt{2}$、$BC = \sqrt{42}$、$AC = 5\sqrt{2}$であるから、

$\frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}r(\sqrt{2} + \sqrt{42} + 5\sqrt{2})$

$\frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}r(6\sqrt{2} + \sqrt{42})$

$5\sqrt{3} = r(6\sqrt{2} + \sqrt{42})$

$r = \frac{5\sqrt{3}}{6\sqrt{2} + \sqrt{42}} = \frac{5\sqrt{3}}{6\sqrt{2} + \sqrt{6}\sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}(6 + \sqrt{21})}$

$r = \frac{5\sqrt{3} (6\sqrt{2}-\sqrt{42})}{(6\sqrt{2})^2 - (\sqrt{42})^2} = \frac{5\sqrt{6} (6-\sqrt{21})}{72-42} = \frac{5\sqrt{6}(6-\sqrt{21})}{30} = \frac{\sqrt{6}(6-\sqrt{21})}{6} = \frac{6\sqrt{6}-\sqrt{126}}{6} = \frac{6\sqrt{6}-3\sqrt{14}}{6} = \frac{2\sqrt{6}-\sqrt{14}}{2}$

3. 最終的な答え

$BC = \sqrt{42}$

三角形ABCの面積 $= \frac{5\sqrt{3}}{2}$

三角形ABCの内接円の半径 $= \frac{2\sqrt{6} - \sqrt{14}}{2}$