直径10cmの球から半球を切り取り、さらにその半球の切断面の円の中心角が72°の部分を切り取った立体の体積を求めます。

1. 問題の内容

直径10cmの球から半球を切り取り、さらにその半球の切断面の円の中心角が72°の部分を切り取った立体の体積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 球の体積を求める。

(2) 半球の体積を求める。

(3) 半球の切断面（円）の面積を求める。

(4) 中心角72°の扇形の面積を求める。

(5) 扇形を底面とする立体の体積を求める。

球の半径は、$r = \frac{10}{2} = 5$ cmです。

球の体積は、

$V_{球} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (5^3) = \frac{500}{3} \pi$ cm$^3$

半球の体積は、球の体積の半分なので、

$V_{半球} = \frac{1}{2} V_{球} = \frac{1}{2} \cdot \frac{500}{3} \pi = \frac{250}{3} \pi$ cm$^3$

半球の切断面の円の半径は、$r = 5$ cmなので、

円の面積は、

$S_{円} = \pi r^2 = \pi (5^2) = 25\pi$ cm$^2$

中心角72°の扇形の面積は、

$S_{扇形} = \frac{72}{360} S_{円} = \frac{1}{5} \cdot 25\pi = 5\pi$ cm$^2$

扇形を底面とする立体の体積は、半球の体積に対する割合で求めます。

立体の体積 $V$ は、

$V = V_{半球} \times \frac{72}{360} = \frac{250}{3} \pi \times \frac{1}{5} = \frac{50}{3} \pi$ cm$^3$

3. 最終的な答え

$\frac{50}{3} \pi$ cm$^3$