3点A(1, 1), B(3, 7), C(5, 3)が与えられたとき、 (1) 線分ABの長さを求める。 (2) 直線ABの方程式を求める。 (3) 点Cと直線ABの距離dを求める。 (4) 三角形ABCの面積Sを求める。

1. 問題の内容

3点A(1, 1), B(3, 7), C(5, 3)が与えられたとき、

(1) 線分ABの長さを求める。

(2) 直線ABの方程式を求める。

(3) 点Cと直線ABの距離dを求める。

(4) 三角形ABCの面積Sを求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分ABの長さ

2点間の距離の公式を用いる。

$AB = \sqrt{(3-1)^2 + (7-1)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

よって、1 = 2, 2 = 10, 3 = 0

(2) 直線ABの方程式

直線ABの傾きは、$\frac{7-1}{3-1} = \frac{6}{2} = 3$

点(1, 1)を通り、傾きが3の直線の方程式は、

$y - 1 = 3(x - 1)$

$y - 1 = 3x - 3$

$3x - y - 2 = 0$

よって、4 = 3, 5 = 2

(3) 点Cと直線ABの距離d

点(x_0, y_0)と直線ax + by + c = 0 の距離は、$\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

点C(5, 3)と直線3x - y - 2 = 0 の距離は、

$d = \frac{|3(5) - 3 - 2|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|15 - 3 - 2|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$

よって、6 = 10, 7 = 0

(4) 三角形ABCの面積S

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times AB \times d = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{10} \times \sqrt{10} = \frac{1}{2} \times 2 \times 10 = 10$

または、

$S = \frac{1}{2} |(x_A - x_C)(y_B - y_A) - (x_A - x_B)(y_C - y_A)|$

$S = \frac{1}{2} |(1-5)(7-1) - (1-3)(3-1)|$

$S = \frac{1}{2} |(-4)(6) - (-2)(2)|$

$S = \frac{1}{2} |-24 + 4| = \frac{1}{2} |-20| = 10$

よって、8 = 10, 9 = 0

3. 最終的な答え

(1) $AB = 2\sqrt{10}$

1 = 2, 2 = 10, 3 = 0

(2) $3x - y - 2 = 0$

4 = 3, 5 = 2

(3) $d = \sqrt{10}$

6 = 10, 7 = 0

(4) $S = 10$

8 = 10, 9 = 0