三角形ABCにおいて、$AB = 8$, $BC = 12$, $CA = 10$ である。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと直線BCの交点をDとする。このとき、$AI:ID$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 8$, $BC = 12$, $CA = 10$ である。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと直線BCの交点をDとする。このとき、$AI:ID$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を利用して線分BDとDCの長さを求める。次に、内心Iが角の二等分線上にあることを利用して$AI:ID$を求める。

ステップ1: 角の二等分線の性質より、

$BD:DC = AB:AC = 8:10 = 4:5$

$BD = \frac{4}{4+5}BC = \frac{4}{9} \times 12 = \frac{16}{3}$

ステップ2: $AB+AC = 8+10 = 18$

$AI:ID = (AB+AC):BC = 18:12 = 3:2$

3. 最終的な答え

$AI:ID = 3:2$