複素数平面上の点 $z$ が与えられたとき、次の各点がどのように移動した点であるかを求めます。 (1) $\frac{1+i}{\sqrt{2}} z$ (2) $(\sqrt{3}+i)z$ (3) $-iz$

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $z$ が与えられたとき、次の各点がどのように移動した点であるかを求めます。

(1) $\frac{1+i}{\sqrt{2}} z$

(2) $(\sqrt{3}+i)z$

(3) $-iz$

2. 解き方の手順

複素数 $w$ をかけることは、原点を中心とした回転と拡大（または縮小）を表します。

(1) $\frac{1+i}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}} = e^{i\frac{\pi}{4}}$

これは、原点を中心として $\frac{\pi}{4}$ (45度) 回転することを意味します。

すなわち、点 $z$ を原点を中心として $\frac{\pi}{4}$ だけ回転した点です。

(2) $\sqrt{3}+i = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right) = 2 e^{i\frac{\pi}{6}}$

これは、原点を中心として $\frac{\pi}{6}$ (30度) 回転し、原点からの距離を2倍することを意味します。

すなわち、点 $z$ を原点を中心として $\frac{\pi}{6}$ だけ回転し、原点からの距離を2倍した点です。

(3) $-i = e^{-i\frac{\pi}{2}}$

これは、原点を中心として $-\frac{\pi}{2}$ (-90度) 回転することを意味します。

すなわち、点 $z$ を原点を中心として $-\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点です。

3. 最終的な答え

(1) 点 $z$ を原点を中心として $\frac{\pi}{4}$ だけ回転した点。

(2) 点 $z$ を原点を中心として $\frac{\pi}{6}$ だけ回転し、原点からの距離を2倍した点。

(3) 点 $z$ を原点を中心として $-\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点。