3点A, B, Cを通る円の方程式を求める問題です。 (1) A(1, 1), B(2, 1), C(-1, 0) (2) A(1, 3), B(5, -5), C(4, 2)

1. 問題の内容

3点A, B, Cを通る円の方程式を求める問題です。

(1) A(1, 1), B(2, 1), C(-1, 0)

(2) A(1, 3), B(5, -5), C(4, 2)

2. 解き方の手順

円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおきます。

3点A, B, Cの座標をそれぞれ代入し、$l, m, n$に関する連立方程式を立てて解きます。

(1)

A(1, 1), B(2, 1), C(-1, 0)を代入すると、

$1^2 + 1^2 + l \cdot 1 + m \cdot 1 + n = 0$

$2^2 + 1^2 + l \cdot 2 + m \cdot 1 + n = 0$

$(-1)^2 + 0^2 + l \cdot (-1) + m \cdot 0 + n = 0$

整理すると

$l + m + n = -2$ (1)

$2l + m + n = -5$ (2)

$-l + n = -1$ (3)

(2) - (1)より、

$l = -3$

(3)より、

$n = l - 1 = -3 - 1 = -4$

(1)より、

$-3 + m - 4 = -2$

$m = 5$

よって、円の方程式は

$x^2 + y^2 - 3x + 5y - 4 = 0$

(2)

A(1, 3), B(5, -5), C(4, 2)を代入すると、

$1^2 + 3^2 + l \cdot 1 + m \cdot 3 + n = 0$

$5^2 + (-5)^2 + l \cdot 5 + m \cdot (-5) + n = 0$

$4^2 + 2^2 + l \cdot 4 + m \cdot 2 + n = 0$

整理すると

$l + 3m + n = -10$ (4)

$5l - 5m + n = -50$ (5)

$4l + 2m + n = -20$ (6)

(5) - (4)より、

$4l - 8m = -40$

$l - 2m = -10$ (7)

(6) - (4)より、

$3l - m = -10$

$m = 3l + 10$ (8)

(8)を(7)に代入すると、

$l - 2(3l + 10) = -10$

$l - 6l - 20 = -10$

$-5l = 10$

$l = -2$

(8)より、

$m = 3(-2) + 10 = -6 + 10 = 4$

(4)より、

$-2 + 3(4) + n = -10$

$-2 + 12 + n = -10$

$10 + n = -10$

$n = -20$

よって、円の方程式は

$x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 - 3x + 5y - 4 = 0$

(2) $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$