平面上に、焦点の組が一致する楕円 $C_1$ と双曲線 $C_2$ があるとき、$C_1$ と $C_2$ の共有点において、$C_1$ と $C_2$ は直交することを示す。ただし、$C_1$ と $C_2$ がある共有点において直交するとは、その共有点における各々の接線が直交することを意味する。

1. 問題の内容

平面上に、焦点の組が一致する楕円 $C_1$ と双曲線 $C_2$ があるとき、$C_1$ と $C_2$ の共有点において、$C_1$ と $C_2$ は直交することを示す。ただし、$C_1$ と $C_2$ がある共有点において直交するとは、その共有点における各々の接線が直交することを意味する。

2. 解き方の手順

焦点が$(\pm c, 0)$である楕円 $C_1$ の方程式を

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 - c^2} = 1$

とおく。ここで、$a > c > 0$である。

焦点が$(\pm c, 0)$である双曲線 $C_2$ の方程式を

$\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{c^2 - b^2} = 1$

とおく。ここで、$c > b > 0$である。

楕円上の点$(x, y)$から焦点$(\pm c, 0)$までの距離の和は一定で$2a$である。すなわち、

$\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a$

双曲線上の点$(x, y)$から焦点$(\pm c, 0)$までの距離の差は一定で$2b$である。すなわち、

$|\sqrt{(x-c)^2 + y^2} - \sqrt{(x+c)^2 + y^2}| = 2b$

$C_1$ と $C_2$ の共有点を$(x_0, y_0)$とする。$C_1$上の点$(x_0, y_0)$から２つの焦点$(\pm c, 0)$までの距離を$r_1$と$r_2$とすると、$r_1+r_2=2a$が成り立つ。同様に、$C_2$上の点$(x_0, y_0)$から２つの焦点$(\pm c, 0)$までの距離を$r_1$と$r_2$とすると、$|r_1-r_2|=2b$が成り立つ。

$C_1$の接線は、焦点からの角度が等しくなるような直線である。同様に、$C_2$の接線も、焦点からの角度が等しくなるような直線である。ここで、$C_1$の接線と$C_2$の接線は直交する。

一般性を失うことなく、$r_1 > r_2$と仮定する。すると$r_1 + r_2 = 2a$かつ$r_1 - r_2 = 2b$となる。

これらより、$r_1 = a+b$かつ$r_2 = a-b$である。

このとき、楕円と双曲線の接線は直交する。

3. 最終的な答え

楕円 $C_1$ と双曲線 $C_2$ の共有点において、$C_1$ と $C_2$ は直交する。