右図のように、円Oが三角形ABCの辺AB, ACの延長線および辺BCに接している。AB = 13, BC = 9, CA = 8 とする。円Oと直線ABの接点をDとする。 (1) ADの長さを求める。 (2) 円Oの半径を求める。

## 数学の問題

1. **問題の内容**

右図のように、円Oが三角形ABCの辺AB, ACの延長線および辺BCに接している。AB = 13, BC = 9, CA = 8 とする。円Oと直線ABの接点をDとする。

(1) ADの長さを求める。

(2) 円Oの半径を求める。

2. **解き方の手順**

(1) ADの長さを求める。

円外の一点から円に引いた接線の長さは等しいという性質を利用する。

* ABの延長線と円の接点をDとすると、ADの長さをxとおく。

* ACの延長線と円の接点をEとすると、AEの長さもxとなる。

* BDの長さは$AD - AB = x - 13$ となる。

* CEの長さは$AE - AC = x - 8$ となる。

* BCと円の接点をF,Gとすると、$BF = BD = x - 13$, $CG = CE = x - 8$となる。

* $BC = BF + CG$より、$9 = (x - 13) + (x - 8)$

* $9 = 2x - 21$

* $2x = 30$

* $x = 15$

したがって、$AD = 15$となる。

(2) 円Oの半径を求める。

ヘロンの公式と三角形の面積の関係を利用する。

* AD = AE = 15より、$s = (15 + 15 + 8 + 9 + 13) / 2 = (30 + 30) / 2 = 32/2=16$

* $\triangle ABC$の面積を$S$とすると、$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{16(16-13)(16-9)(16-8)} = \sqrt{16*3*7*8} = \sqrt{2688} = 8\sqrt{42}$

* $\triangle ABC$の内心をI、半径をrとおくと、$\triangle ABC$の面積Sについて$S = r(a+b+c)/2$の関係が成り立つ。

* $\triangle ABC = r(13 + 9 + 8) / 2 = 15r$

* $15r = 8\sqrt{42}$

* $r = \frac{8\sqrt{42}}{15}$

3. **最終的な答え**

(1) ADの長さ: 15

(2) 円Oの半径: $\frac{8\sqrt{42}}{15}$