問題は、ベクトルの外積における分配法則が成り立つことを示すことです。具体的には、以下の2つの式が成り立つことを示す必要があります。 * $(a + b) \times c = a \times c + b \times c$ * $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$

1. 問題の内容

問題は、ベクトルの外積における分配法則が成り立つことを示すことです。具体的には、以下の2つの式が成り立つことを示す必要があります。

* $(a + b) \times c = a \times c + b \times c$

* $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$

2. 解き方の手順

分配法則は、ベクトルの外積の定義に基づいて証明できます。ここでは、ベクトルの成分を用いて具体的に計算することで証明します。

ベクトル $a, b, c$ を以下のように定義します。

$a = (a_1, a_2, a_3)$

$b = (b_1, b_2, b_3)$

$c = (c_1, c_2, c_3)$

まず、$(a + b) \times c$ を計算します。

$a + b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$

$(a + b) \times c = ((a_2 + b_2)c_3 - (a_3 + b_3)c_2, (a_3 + b_3)c_1 - (a_1 + b_1)c_3, (a_1 + b_1)c_2 - (a_2 + b_2)c_1)$

$= (a_2c_3 - a_3c_2 + b_2c_3 - b_3c_2, a_3c_1 - a_1c_3 + b_3c_1 - b_1c_3, a_1c_2 - a_2c_1 + b_1c_2 - b_2c_1)$

次に、$a \times c + b \times c$ を計算します。

$a \times c = (a_2c_3 - a_3c_2, a_3c_1 - a_1c_3, a_1c_2 - a_2c_1)$

$b \times c = (b_2c_3 - b_3c_2, b_3c_1 - b_1c_3, b_1c_2 - b_2c_1)$

$a \times c + b \times c = (a_2c_3 - a_3c_2 + b_2c_3 - b_3c_2, a_3c_1 - a_1c_3 + b_3c_1 - b_1c_3, a_1c_2 - a_2c_1 + b_1c_2 - b_2c_1)$

$(a + b) \times c$ と $a \times c + b \times c$ の結果が一致するため、$(a + b) \times c = a \times c + b \times c$ が成り立ちます。

次に、$a \times (b + c)$ を計算します。

$b + c = (b_1 + c_1, b_2 + c_2, b_3 + c_3)$

$a \times (b + c) = (a_2(b_3 + c_3) - a_3(b_2 + c_2), a_3(b_1 + c_1) - a_1(b_3 + c_3), a_1(b_2 + c_2) - a_2(b_1 + c_1))$

$= (a_2b_3 - a_3b_2 + a_2c_3 - a_3c_2, a_3b_1 - a_1b_3 + a_3c_1 - a_1c_3, a_1b_2 - a_2b_1 + a_1c_2 - a_2c_1)$

次に、$a \times b + a \times c$ を計算します。

$a \times b = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$

$a \times c = (a_2c_3 - a_3c_2, a_3c_1 - a_1c_3, a_1c_2 - a_2c_1)$

$a \times b + a \times c = (a_2b_3 - a_3b_2 + a_2c_3 - a_3c_2, a_3b_1 - a_1b_3 + a_3c_1 - a_1c_3, a_1b_2 - a_2b_1 + a_1c_2 - a_2c_1)$

$a \times (b + c)$ と $a \times b + a \times c$ の結果が一致するため、$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

分配法則 $(a + b) \times c = a \times c + b \times c$ と $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ は、ベクトルの外積の定義から成り立つ。