楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $A(x_1, y_1)$ における接線の方程式が $\frac{x_1x}{a^2} + \frac{y_1y}{b^2} = 1$ であることを示す。

1. 問題の内容

楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $A(x_1, y_1)$ における接線の方程式が $\frac{x_1x}{a^2} + \frac{y_1y}{b^2} = 1$ であることを示す。

2. 解き方の手順

楕円の方程式 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ を $x$ で微分する。

$\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \right) = \frac{d}{dx} (1)$

$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = - \frac{2x}{a^2}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$

点 $A(x_1, y_1)$ における接線の傾きは、$\frac{dy}{dx}$ に $x=x_1$、$y=y_1$ を代入して得られる。

$m = - \frac{b^2 x_1}{a^2 y_1}$

したがって、点 $A(x_1, y_1)$ における接線の方程式は次のようになる。

$y - y_1 = m (x - x_1)$

$y - y_1 = - \frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} (x - x_1)$

両辺に $a^2 y_1$ を掛けると

$a^2 y_1 (y - y_1) = - b^2 x_1 (x - x_1)$

$a^2 y_1 y - a^2 y_1^2 = - b^2 x_1 x + b^2 x_1^2$

$b^2 x_1 x + a^2 y_1 y = b^2 x_1^2 + a^2 y_1^2$

両辺を $a^2 b^2$ で割ると

$\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2}$

点 $A(x_1, y_1)$ は楕円上の点なので $\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1$ である。

したがって、接線の方程式は

$\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$

3. 最終的な答え

$\frac{x_1x}{a^2} + \frac{y_1y}{b^2} = 1$