$u > 0, v > 0$ とする。楕円 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ 上の点 $P(u, v)$ における接線 $L$ の傾きが $-1$ であるとき、$u$ と $v$ の値を求め、さらに接線 $L$ と $x$ 軸との交点を $A$, $y$ 軸との交点を $B$ とするとき、線分 $AB$ の長さを求める。

1. 問題の内容

$u > 0, v > 0$ とする。楕円 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ 上の点 $P(u, v)$ における接線 $L$ の傾きが $-1$ であるとき、$u$ と $v$ の値を求め、さらに接線 $L$ と $x$ 軸との交点を $A$, $y$ 軸との交点を $B$ とするとき、線分 $AB$ の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、楕円 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ 上の点 $(u, v)$ における接線の方程式を求める。

楕円の方程式を $f(x, y) = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} - 1 = 0$ とすると、接線の方程式は

$\frac{u x}{4} + \frac{v y}{9} = 1$ と表される。

この接線の傾きが $-1$ であるから、

$\frac{v}{9}y = -\frac{u}{4}x + 1$ より $y = -\frac{9u}{4v}x + \frac{9}{v}$。

傾きは $-\frac{9u}{4v}$ なので、$-\frac{9u}{4v} = -1$ より $9u = 4v$。よって、$v = \frac{9}{4}u$。

点 $(u, v)$ は楕円上の点であるから、$\frac{u^2}{4} + \frac{v^2}{9} = 1$ を満たす。

$v = \frac{9}{4}u$ を代入すると、

$\frac{u^2}{4} + \frac{(\frac{9}{4}u)^2}{9} = 1$

$\frac{u^2}{4} + \frac{81u^2}{16 \cdot 9} = 1$

$\frac{u^2}{4} + \frac{9u^2}{16} = 1$

$4u^2 + 9u^2 = 16$

$13u^2 = 16$

$u^2 = \frac{16}{13}$

$u > 0$ より $u = \frac{4}{\sqrt{13}}$。

$v = \frac{9}{4}u = \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$。

したがって、$u = \frac{4}{\sqrt{13}}$, $v = \frac{9}{\sqrt{13}}$ である。

接線 $L$ の方程式は、$\frac{ux}{4} + \frac{vy}{9} = 1$ に $u$ と $v$ の値を代入して、

$\frac{\frac{4}{\sqrt{13}}x}{4} + \frac{\frac{9}{\sqrt{13}}y}{9} = 1$

$\frac{x}{\sqrt{13}} + \frac{y}{\sqrt{13}} = 1$

$x + y = \sqrt{13}$

$x$ 軸との交点 $A$ は $y = 0$ のとき $x = \sqrt{13}$ より $(\sqrt{13}, 0)$。

$y$ 軸との交点 $B$ は $x = 0$ のとき $y = \sqrt{13}$ より $(0, \sqrt{13})$。

$A = (\sqrt{13}, 0)$, $B = (0, \sqrt{13})$ であるから、線分 $AB$ の長さは

$\sqrt{(\sqrt{13} - 0)^2 + (0 - \sqrt{13})^2} = \sqrt{13 + 13} = \sqrt{26}$。

3. 最終的な答え

$u = \frac{4}{\sqrt{13}}$

$v = \frac{9}{\sqrt{13}}$

線分 $AB$ の長さは $\sqrt{26}$。