三角形 ABC において、AD = DB, AE = EC, DF:FG = 4:5 であるとき、線分 HG の長さ x を求めなさい。ただし、線分 BC の長さは 32cm である。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、AD = DB, AE = EC, DF:FG = 4:5 であるとき、線分 HG の長さ x を求めなさい。ただし、線分 BC の長さは 32cm である。

2. 解き方の手順

まず、DE は BC と平行になります（中点連結定理）。

よって、三角形 ADF と三角形 ABH は相似、三角形 AEG と三角形 ACG も相似となります。

また、DE // BC なので、三角形 DFE と三角形 BHF、三角形 FEG と三角形 FGC も相似となります。

DF:FG = 4:5 より、DF = 4k, FG = 5k とおけます。

三角形 DFE と三角形 BHF の相似比は DF:FH = DE:BH となります。

三角形 FEG と三角形 FGC の相似比は FG:GC = DE:GC となります。

DE は BC の半分なので、DE = 32 / 2 = 16 となります。

ここで、BH = x - FG = x - 5k, GC = 32 - x - BH = 32 - x - (x - 5k) = 32 - 2x + 5k となります。

DF:FH = DE:BH より、4k:FH = 16:(x - 5k) なので、

$FH = \frac{4k(x - 5k)}{16} = \frac{k(x - 5k)}{4}$

FG:GC = DE:GC より、5k:GC = 16:GC なので、

$FG : GC = DE : GC$

$5k : (32 - 2x + 5k) = 16 : (32 - 2x + 5k)$

FG:GC = DE:CG より、$5k: (32 - 2x + 5k) = 16 : (32 - 2x + 5k)$. よって

$\frac{5k}{32 - 2x + 5k} = \frac{16}{32 - 2x + 5k}$

DF:FG = 4:5なので、FG = (5/4) DF。

また、DE = 16なので、BH:HG:GC = DF:FG:FG = 4:5:(5/4)

ゆえに、BH/4 = HG/5 = GC/5

HG = xなので、BH = (4/5)x

また、GC = (5/5)x = x。

よって、BH + HG + GC = BC = 32。

(4/5)x + x + x = 32

(4/5)x + 2x = 32

(14/5)x = 32

x = (32 * 5)/14 = (16 * 5)/7 = 80/7

BH : HG : GC = 4 : 5 : 5 なので、

x = HG とすると、BH = (4/5)x、GC = x。

BC = BH + HG + GC なので、

$32 = \frac{4}{5}x + x + x = \frac{14}{5}x$

よって、$x = \frac{32 \times 5}{14} = \frac{160}{14} = \frac{80}{7}$

3. 最終的な答え

x = 80/7