$DE // BC$、かつ $DF : FG = 2 : 1$ のとき、$x$ の値を求める問題。ここで、$x$ は $BC$ の長さを表し、$AD = 10$ cm である。

1. 問題の内容

$DE // BC$、かつ $DF : FG = 2 : 1$ のとき、$x$ の値を求める問題。ここで、$x$ は $BC$ の長さを表し、$AD = 10$ cm である。

2. 解き方の手順

まず、$DE // BC$ より、$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ である。

このとき、$AD : AB = DE : BC$ が成り立つ。

また、$DF // CG$ より、$\triangle ADF \sim \triangle ACG$ である。

$DF : FG = 2 : 1$ より、$DG : DF = 3 : 2$ である。

$\triangle ADF \sim \triangle ACG$ なので、$AG : AF = CG : DF = 3 : 2$。

$AD : AB = AF : AC = DE : BC$

$\triangle AFG \sim \triangle ACB$ だから、$AF/AC = FG/BC = 1/3$

$\triangle ADF \sim \triangle ACG$ より、$DF : CG = AF : AG$

$AD/AB = DE/BC$ だから $AD/AB = 2/3$

$AD = 10$ cm だから $AB = (3/2) * 10 = 15$ cm。

したがって、$DB = AB - AD = 15 - 10 = 5$ cm。

$AD : AB = 10 : 15 = 2 : 3$

$AF : AC = 1 : 3$ となり、$FG/BC = 1/3$ なので、$BC = 3 * FG$ である。

$DF : FG = 2 : 1$ なので、$DF = 2 * FG$

また、$DE // BC$ より、$\triangle ADE \sim \triangle ABC$。したがって、$AD : AB = DE : BC$

$AD/AB = DE/BC = 2/3$

$\triangle DBF と \triangle BCGは相似である$

$\triangle ADF \sim \triangle ACG$ より $AF/AG = DF/CG = 2/3$

$AD : DB = 2:1$ なので、$DE : BC = 2:3$

$DE/BC = AD/AB = 2/3$ となり、求める $x = BC$ は $BC = 3DE/2$ となる。

$\triangle DBF \sim \triangle ECF$である。$DF=2FG$より、$DF:FG = 2:1$ だから、$BF : FC = 2:1$

$DE \parallel BC$なので、$AD:AB = AE:AC = DE:BC$

$DF:FC = 2:1$ より、三角形の相似を利用して、$AD : AB = 2 : 3$となる。

$AD = 10$より、$AB = 15$。$DB = AB - AD = 5$

$FG/BC = 1/3$, $DF/BC = 2/5$

$DE/BC = AD/AB = 2/3$ となる。 $AD=10$より、$DB = 5$、$DB/AB = 5/15 = 1/3$、$AD/AB=10/15 =2/3$となる。

$BC = 3DE/2$

$DE : BC = 2 : 3$ となる。$AD : AB = 2 : 3$だから $AB=15$

$\triangle ABC$と$\triangle ADF$

したがって、$x=15$

3. 最終的な答え

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