円周上に4点A, B, C, Dがあり、線分ACとBDの交点をPとする。AB = CBである。 (1) $\triangle BCP \sim \triangle BDC$となることを証明する穴埋め問題。 (2) BP = 4cm, PD = 6cmのとき、BCの長さを求める問題。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

円周上に4点A, B, C, Dがあり、線分ACとBDの交点をPとする。AB = CBである。

(1) $\triangle BCP \sim \triangle BDC$となることを証明する穴埋め問題。

(2) BP = 4cm, PD = 6cmのとき、BCの長さを求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle BCP$と$\triangle BDC$において

共通な角であるから

$\angle PBC = \angle DBC$ …(ア) (選択肢: (5) DBC)

AB = CB より$\triangle ABC$は二等辺三角形であり、二等辺三角形の底角は等しいから

$\angle BAC = \angle BCA$ …(イ) (選択肢: (1) BCA)

BCに対する円周角は等しいから

$\angle BAC = \angle BDC$ …(ウ) (選択肢: (3) BDC)

(イ)(ウ)より

$\angle BCA = \angle BDC$ …(エ)

(ア)(エ)より、2組の角がそれぞれ等しいから

$\triangle BCP \sim \triangle BDC$

(2) $\triangle BCP \sim \triangle BDC$より、対応する辺の比は等しいから

$\frac{BC}{BD} = \frac{BP}{BC}$

$BC^2 = BP \cdot BD$

$BC^2 = BP \cdot (BP + PD)$

与えられた値を代入すると、

$BC^2 = 4 \cdot (4 + 6) = 4 \cdot 10 = 40$

$BC = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(1) ア: (5), イ: (1), ウ: (3)

(2) $2\sqrt{10}$ cm