円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = mx + 4$ が接するとき、定数 $m$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = mx + 4$ が接するとき、定数 $m$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 = 4$ の中心は原点 $(0, 0)$ で、半径は $2$ です。

直線 $y = mx + 4$ と円が接するための条件は、円の中心から直線までの距離が半径に等しいことです。

円の中心 $(0, 0)$ から直線 $y = mx + 4$、つまり $mx - y + 4 = 0$ までの距離 $d$ は、点と直線の距離の公式を用いて計算できます。

$d = \frac{|m(0) - (0) + 4|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|4|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}}$

円と直線が接するためには、$d = 2$ でなければなりません。

したがって、

$\frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$

両辺を2乗すると、

$\frac{16}{m^2 + 1} = 4$

$16 = 4(m^2 + 1)$

$4 = m^2 + 1$

$m^2 = 3$

$m = \pm \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$m = \sqrt{3}, -\sqrt{3}$