三角形ABCがあり、AD = DB、AE = EC、DF:FG = 2:1 である。線分BC上に点H, Gがあり、HGの長さが$x$ cm、BCの長さが20 cmであるとき、$x$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、AD = DB、AE = EC、DF:FG = 2:1 である。線分BC上に点H, Gがあり、HGの長さが$x$ cm、BCの長さが20 cmであるとき、$x$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、DEとBCが平行であること、そしてDEの長さを求めます。

$AD=DB$、 $AE=EC$なので、中点連結定理より、DEはBCの半分です。

$DE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \times 20 = 10$ cm

次に、DF:FG = 2:1 であることより、DG:DEの比率を求めます。

DF:FG = 2:1 なので、DG:DE = 3:DE です。

DGの長さを求めるには、DF:DEを使います。

ここで、補助線を引き、三角形の相似を利用します。

BHとDEが平行なので、三角形BFGと三角形BDEが相似であることに注目します。

DF:FG = 2:1 より、DF:DG = 2:3 です。

また、DEとBCが平行なので、三角形ADFと三角形ABHも相似の関係にあります。

したがって、

$\frac{FG}{DE} = \frac{1}{3}$

$FG = \frac{1}{3} DE = \frac{1}{3} \times 10 = \frac{10}{3}$ cm

$BC = BH + HG + GC = 20$ cm

$HG = x$ cm

DE//BCなので、$\triangle ADF \sim \triangle ABH$となります。

よって、$\frac{AD}{AB} = \frac{AF}{AH} = \frac{DF}{BH}$であり、$AD=DB$より$AD/AB = 1/2$なので、$\frac{DF}{BH} = \frac{1}{2}$です。

また、DE//BCなので、$\triangle AEG \sim \triangle AGC$となります。

よって、$\frac{AE}{AC} = \frac{AG}{AG} = \frac{EG}{CG}$であり、$AE=EC$より$AE/AC = 1/2$なので、$\frac{EG}{CG} = \frac{1}{2}$です。

DEとBCが平行なので、線分BFとCEは線分BCを同じ比に分割します。つまり、$\frac{BH}{HF}=\frac{CG}{GE}$.

またDF:FG = 2:1だから、$DF=2/3DG$と$FG=1/3DG$です。

$DG//BC$より、$\triangle DFG \sim \triangle BHC$

$\triangle DEG \sim \triangle BGC$

$HG = x$, $BC = 20$

$\frac{HF}{DE} = \frac{1}{3}$なので、$FG=\frac{1}{3}DE = \frac{1}{3} * 10=\frac{10}{3}$

$DH:BG=2:3$

$\frac{BG}{BC} = \frac{3}{2} DG$

DGの長さが分かると、HGの長さを求めることができます。

DGがBCと平行なので、$\triangle DFG \sim \triangle BHC$

だから、$\frac{DG}{BC} = \frac{3}{3} = \frac{HF}{BH} = \frac{GC}{EC}$

HG=1/2 BC = x , 20cm

2x=15

x=5

$x = \frac{1}{3} \times 20 = \frac{20}{3}$ cm

$x = \frac{20}{3}$

3. 最終的な答え

x = 20/3