三角形 ABC があり、AD = DB, AE = EC, EF : FB = 2 : 1 である。線分 CG の長さが 26cm であるとき、線分 BG の長さ x を求める。

1. 問題の内容

三角形 ABC があり、AD = DB, AE = EC, EF : FB = 2 : 1 である。線分 CG の長さが 26cm であるとき、線分 BG の長さ x を求める。

2. 解き方の手順

まず、AD = DB, AE = EC より、DE は三角形 ABC の中点連結定理より、BC と平行である。したがって、DE // BC。

次に、EF : FB = 2 : 1 であるから、EF : EB = 2 : 3 である。

三角形 AEF と三角形 ABC は相似である。相似比は AE : AC = 1 : 2。

また、三角形 EFG と三角形 CBG も相似である。この相似比は EF : CB に等しい。

AB = AD + DB = 2AD

AC = AE + EC = 2AE

DE // BCより、三角形ADEと三角形ABCは相似。

したがって、DE : BC = AD : AB = 1 :

2.

ここで、EF : FB = 2 : 1 より、EF = 2k, FB = k とおく。すると、EB = EF + FB = 3k となる。

したがって、EF : EB = 2k : 3k = 2 :

3. BCとDEが平行であることから、三角形EFGと三角形CBGは相似である。

したがって、CG : EG = BC : EF = 3 :

2. ゆえに、BG : FG = BC : EF = 3:

2.

CG = 26cm. また、CG : EG = BC : EF = 3:

2. であるから、CB = 3x/2

三角形 EFG と三角形 CBG の相似比は EF : BC であり、BG : FG = BC : EF となる。

したがって、BG/CG = BF/AC = FB/ACとなる。

また、EF : EB = 2:3 であるから、EF = (2/3)EB

BC = 2DE = 2AB

BG : CG = 3 : 2 なので、BG:CG = 3x/2: 26 = 2/3 が成り立ちます

$x = 26 \times \frac{2}{3} = \frac{52}{3}$

3. 最終的な答え

x = 52/3