三角形ABCにおいて、辺ABの中点をQとし、QCの中点をRとする。ARの延長線が辺BCと交わる点をSとするとき、CS:SBとAR:RSを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABの中点をQとし、QCの中点をRとする。ARの延長線が辺BCと交わる点をSとするとき、CS:SBとAR:RSを求めよ。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を用いて解きます。

三角形QBSと直線ARについて、メネラウスの定理より、

$$\frac{BA}{AQ} \cdot \frac{AR}{RS} \cdot \frac{SC}{CB} = 1$$

ここで、QはABの中点なので、$BA = 2AQ$であるから、$\frac{BA}{AQ} = 2$となる。

また、RはQCの中点なので、$QR = RC$である。

次に、チェバの定理を考えるために、メネラウスの定理の式を変換する。

$$\frac{BA}{AQ} \cdot \frac{AR}{RS} \cdot \frac{SC}{CB} = 1$$

$$2 \cdot \frac{AR}{RS} \cdot \frac{SC}{CS+SB} = 1$$

次に、三角形ABCにおいて、AQ, RC, BSは一点で交わるため、チェバの定理が成り立つ。

$$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{CA}{AR} = 1$$

ここで、$AQ = QB$なので、$\frac{AQ}{QB} = 1$である。

また、$R$は$QC$の中点なので、$QR = RC$である。

ここで、$\frac{BS}{SC}$について解くと

$$\frac{BS}{SC} = 1$$

$$\frac{SB}{SC} = \frac{BC}{SC} - 1 = \frac{CS+SB}{SC} = \frac{BC}{SC} - 1 = 1$$

$$BC = 2SC$$

$$CS:SB = 1:1$$

これは誤りなので、メネラウスの定理を用いて計算する。

三角形QBSと直線ARについて、

$$\frac{BA}{AQ} \cdot \frac{AR}{RS} \cdot \frac{SC}{CB} = 1$$

$$\frac{AB}{AQ} = 2, \frac{BC}{CS} = \frac{CS+SB}{CS} = 1 + \frac{SB}{CS}$$

$$2 \cdot \frac{AR}{RS} \cdot \frac{CS}{CS+SB} = 1$$

$$\frac{AR}{RS} = \frac{CS+SB}{2CS} = \frac{1}{2} + \frac{SB}{2CS}$$

ここで、メネラウスの定理を三角形CBSと直線ARで考えると

$$\frac{CA}{AR} \cdot \frac{RS}{SB} \cdot \frac{BQ}{QC} = 1$$

$R$は$QC$の中点なので、$QR = RC$であり、$QC = 2RC$である。

$Q$は$AB$の中点なので、$AQ = QB$である。

チェバの定理を三角形ABCと点Sで考えると

$$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{CA}{AR} = 1$$

より

$$\frac{BS}{SC} \cdot \frac{CR}{RA} \cdot \frac{AQ}{QB} = 1$$

$$\frac{AQ}{QB} = 1$$

$$\frac{BS}{SC} \cdot \frac{CA}{AR} = 1$$

メネラウスの定理を三角形BCQと直線ASで考えると

$$\frac{CS}{SB} \cdot \frac{BA}{AQ} \cdot \frac{QR}{RC} = 1$$

$$\frac{CS}{SB} \cdot 2 \cdot 1 = 1$$

$$2\frac{CS}{SB} = 1$$

$$\frac{CS}{SB} = \frac{1}{2}$$

$$CS:SB = 1:2$$

次に、三角形QCSと直線ARでメネラウスの定理を考えると

$$\frac{CA}{AR} \cdot \frac{RS}{SQ} \cdot \frac{QB}{BC} = 1$$

$$\frac{CA}{AR} \cdot \frac{RS}{SQ} = \frac{SB}{QB} = 1$$

$$2 \frac{AR}{RS} \cdot \frac{SC}{BC} = 1$$

$$\frac{AR}{RS} = \frac{BC}{2SC}$$

$\frac{BC}{SC} = \frac{CS+SB}{SC} = 1 + \frac{SB}{SC} = 1 + 2 = 3$

$$\frac{AR}{RS} = \frac{3}{2}$$

$$AR:RS = 3:2$$

3. 最終的な答え

CS:SB = 1:2

AR:RS = 3:2