円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5, BC=3, CD=3, DA=8であるとき、ACの長さ、∠ABCの角度、および四角形ABCDの面積Sを求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5, BC=3, CD=3, DA=8であるとき、ACの長さ、∠ABCの角度、および四角形ABCDの面積Sを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) ACの長さを求める

△ABCにおいて、余弦定理を用いると、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos∠ABC$

△ADCにおいて、余弦定理を用いると、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos∠ADC$

四角形ABCDは円に内接するので、$∠ABC + ∠ADC = 180°$より、$∠ADC = 180° - ∠ABC$

$\cos∠ADC = \cos(180° - ∠ABC) = -\cos∠ABC$

したがって、

$AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos∠ABC = AD^2 + CD^2 + 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos∠ABC$

$5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos∠ABC = 8^2 + 3^2 + 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos∠ABC$

$25 + 9 - 30 \cos∠ABC = 64 + 9 + 48 \cos∠ABC$

$-30 \cos∠ABC - 48 \cos∠ABC = 64 + 9 - 25 - 9$

$-78 \cos∠ABC = 39$

$\cos∠ABC = -\frac{39}{78} = -\frac{1}{2}$

$AC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = 25 + 9 + 15 = 49$

$AC = 7$

(2) ∠ABCの角度を求める

$\cos∠ABC = -\frac{1}{2}$より、$∠ABC = 120°$

(3) 四角形ABCDの面積Sを求める

$S = △ABC + △ADC$

$△ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin∠ABC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sin120° = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

$△ADC = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin∠ADC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 \cdot \sin(180°-120°) = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{24\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}$

$S = \frac{15\sqrt{3}}{4} + 6\sqrt{3} = \frac{15\sqrt{3} + 24\sqrt{3}}{4} = \frac{39\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

AC = 7

∠ABC = 120°

S = $\frac{39\sqrt{3}}{4}$