(1) 点 (4, 2) を通り、円 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$ に接する直線の方程式を求める。 (2) 2つの円 $C: (x-1)^2 + (y+1)^2 = 3$ と $D: (x+1)^2 + y^2 = 2$ の2つの交点を P, Q とする。3点 P, Q, R(2, 1) を通る円の中心と半径を求める。

1. 問題の内容

(1) 点 (4, 2) を通り、円 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$ に接する直線の方程式を求める。

(2) 2つの円 $C: (x-1)^2 + (y+1)^2 = 3$ と $D: (x+1)^2 + y^2 = 2$ の2つの交点を P, Q とする。3点 P, Q, R(2, 1) を通る円の中心と半径を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$ の中心は (2, -1) で、半径は 3 である。

求める直線を $y = m(x-4) + 2$ とおく。すなわち $mx - y - 4m + 2 = 0$ である。

直線と円の中心との距離が半径に等しいという条件から、

$\frac{|2m - (-1) - 4m + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 3$

$\frac{|-2m + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 3$

$(-2m + 3)^2 = 9(m^2 + 1)$

$4m^2 - 12m + 9 = 9m^2 + 9$

$5m^2 + 12m = 0$

$m(5m + 12) = 0$

$m = 0, -\frac{12}{5}$

$m = 0$ のとき、$y = 2$

$m = -\frac{12}{5}$ のとき、$y = -\frac{12}{5}(x-4) + 2$

$5y = -12x + 48 + 10$

$12x + 5y - 58 = 0$

(2)

2つの円 C, D の方程式は

$C: (x-1)^2 + (y+1)^2 = 3$

$D: (x+1)^2 + y^2 = 2$

2つの円の交点を通る円の方程式は

$(x-1)^2 + (y+1)^2 - 3 + k((x+1)^2 + y^2 - 2) = 0$

これが (2, 1) を通るので、

$(2-1)^2 + (1+1)^2 - 3 + k((2+1)^2 + 1^2 - 2) = 0$

$1 + 4 - 3 + k(9 + 1 - 2) = 0$

$2 + 8k = 0$

$k = -\frac{1}{4}$

$(x-1)^2 + (y+1)^2 - 3 - \frac{1}{4}((x+1)^2 + y^2 - 2) = 0$

$4(x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 - 3) - (x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2) = 0$

$4(x^2 - 2x + y^2 + 2y - 1) - (x^2 + 2x + y^2 - 1) = 0$

$4x^2 - 8x + 4y^2 + 8y - 4 - x^2 - 2x - y^2 + 1 = 0$

$3x^2 - 10x + 3y^2 + 8y - 3 = 0$

$x^2 - \frac{10}{3}x + y^2 + \frac{8}{3}y - 1 = 0$

$(x - \frac{5}{3})^2 - \frac{25}{9} + (y + \frac{4}{3})^2 - \frac{16}{9} - 1 = 0$

$(x - \frac{5}{3})^2 + (y + \frac{4}{3})^2 = \frac{25}{9} + \frac{16}{9} + \frac{9}{9} = \frac{50}{9}$

中心 $(\frac{5}{3}, -\frac{4}{3})$、半径 $\sqrt{\frac{50}{9}} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2$

$12x + 5y - 58 = 0$

$\boxed{y = 2}$

$\boxed{12x+5y-58=0}$

(2) 中心 $(\frac{5}{3}, -\frac{4}{3})$、半径 $\frac{5\sqrt{2}}{3}$

$\boxed{中心: (\frac{5}{3}, -\frac{4}{3})}$

$\boxed{半径: \frac{5\sqrt{2}}{3}}$