直線 $l: y = x - \sqrt{2}$ と円 $C: x^2 + y^2 = 1$ の共有点の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $l: y = x - \sqrt{2}$ と円 $C: x^2 + y^2 = 1$ の共有点の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

直線の方程式を円の方程式に代入して、共有点の個数を調べます。

$y = x - \sqrt{2}$ を $x^2 + y^2 = 1$ に代入すると、

$x^2 + (x - \sqrt{2})^2 = 1$

$x^2 + x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 1$

$2x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D = b^2 - 4ac$ より、

$D = (-2\sqrt{2})^2 - 4(2)(1) = 8 - 8 = 0$

判別式が0なので、この2次方程式は重解を持ちます。したがって、直線と円は1点で接します。

3. 最終的な答え

1