中心が原点 $O$ で半径が5の円周上に、点 $(-5, 10)$ から接線を引いたとき、第1象限にある接点の $x$ 座標を求める問題です。

1. 問題の内容

中心が原点 $O$ で半径が5の円周上に、点 $(-5, 10)$ から接線を引いたとき、第1象限にある接点の $x$ 座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の方程式は $x^2 + y^2 = 5^2 = 25$ です。

接点を $(x_1, y_1)$ とすると、接線の方程式は $x_1 x + y_1 y = 25$ となります。

この接線が点 $(-5, 10)$ を通るので、 $-5x_1 + 10y_1 = 25$ が成り立ちます。

これを整理すると、 $-x_1 + 2y_1 = 5$ となります。

したがって、$x_1 = 2y_1 - 5$ です。

また、接点は円周上にあるので、$x_1^2 + y_1^2 = 25$ を満たします。

$x_1 = 2y_1 - 5$ を $x_1^2 + y_1^2 = 25$ に代入すると、

$(2y_1 - 5)^2 + y_1^2 = 25$

$4y_1^2 - 20y_1 + 25 + y_1^2 = 25$

$5y_1^2 - 20y_1 = 0$

$5y_1(y_1 - 4) = 0$

したがって、$y_1 = 0$ または $y_1 = 4$ となります。

$y_1 = 0$ のとき、$x_1 = 2(0) - 5 = -5$ となり、接点は $(-5, 0)$ です。

$y_1 = 4$ のとき、$x_1 = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3$ となり、接点は $(3, 4)$ です。

第1象限の接点の $x$ 座標を求めるので、$(3, 4)$ の $x$ 座標である $3$ が答えとなります。

3. 最終的な答え

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