三角形ABCについて、以下の問いに答える。 (1) $a=4\sqrt{3}$, $A=60^\circ$ のとき、三角形ABCの外接円の半径を求める。 (2) $b=\sqrt{6}$, $c=\sqrt{2}$, $A=30^\circ$ のとき、$a$を求める。 (3) $a=5$, $b=7$, $c=9$ のとき、三角形ABCの外接円の半径を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCについて、以下の問いに答える。

(1) $a=4\sqrt{3}$, $A=60^\circ$ のとき、三角形ABCの外接円の半径を求める。

(2) $b=\sqrt{6}$, $c=\sqrt{2}$, $A=30^\circ$ のとき、$a$を求める。

(3) $a=5$, $b=7$, $c=9$ のとき、三角形ABCの外接円の半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = 2R$。ここで、$R$は外接円の半径である。

$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$

(2) 余弦定理より、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$。

$a^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{6}\sqrt{2}\cos 30^\circ = 6 + 2 - 2\sqrt{12}\frac{\sqrt{3}}{2} = 8 - 2 \cdot 2\sqrt{3}\frac{\sqrt{3}}{2} = 8 - 4\cdot\frac{3}{2} = 8 - 6 = 2$

よって、$a = \sqrt{2}$

(3) まず、余弦定理を用いて$\cos A$を求める。

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{7^2 + 9^2 - 5^2}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{49 + 81 - 25}{126} = \frac{105}{126} = \frac{5}{6}$

次に、$\sin A$を求める。$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

よって、$\sin A = \frac{\sqrt{11}}{6}$

正弦定理より、$2R = \frac{a}{\sin A}$なので、

$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{5}{2 \cdot \frac{\sqrt{11}}{6}} = \frac{5}{\frac{\sqrt{11}}{3}} = \frac{15}{\sqrt{11}} = \frac{15\sqrt{11}}{11}$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) $\sqrt{2}$

(3) $\frac{15\sqrt{11}}{11}$