一辺の長さが1の正四面体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

正四面体の体積を求める。一辺の長さを $a$ とする。

底面積は正三角形の面積なので、$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。

高さは、正四面体の頂点から底面に下ろした垂線の足が、底面の正三角形の重心になることを利用して求める。

正三角形の重心は、中線を $2:1$ に内分する点である。正三角形の一つの頂点から対辺の中点までの距離（高さ）は $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ なので、重心までの距離は $\frac{\sqrt{3}}{2}a \times \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}a$ となる。

正四面体の頂点から重心に下ろした垂線の長さを $h$ とすると、ピタゴラスの定理より、

$h^2 + (\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2 = a^2$

$h^2 + \frac{3}{9}a^2 = a^2$

$h^2 = \frac{6}{9}a^2 = \frac{2}{3}a^2$

$h = \sqrt{\frac{2}{3}}a = \frac{\sqrt{6}}{3}a$

したがって、正四面体の体積$V$は、

$V = \frac{1}{3} \times (\frac{\sqrt{3}}{4}a^2) \times (\frac{\sqrt{6}}{3}a) = \frac{\sqrt{18}}{36}a^3 = \frac{3\sqrt{2}}{36}a^3 = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$

問題では、$a=1$ なので、

$V = \frac{\sqrt{2}}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2}}{12}$