3点A(1, 4), B(1, 1), Cを頂点とする三角形ABCの重心Gの座標が(-1, 3)である。以下の点の座標を求める問題。 (1) 線分AGの中点M (2) 線分ABを2:1に内分する点P (3) 点C (4) 線分BCを3:2に外分する点Q

1. 問題の内容

3点A(1, 4), B(1, 1), Cを頂点とする三角形ABCの重心Gの座標が(-1, 3)である。以下の点の座標を求める問題。

(1) 線分AGの中点M

(2) 線分ABを2:1に内分する点P

(3) 点C

(4) 線分BCを3:2に外分する点Q

2. 解き方の手順

(1) 線分AGの中点Mの座標は、AとGの座標の平均を取ることで求められます。

$M = (\frac{1 + (-1)}{2}, \frac{4 + 3}{2})$

(2) 線分ABを2:1に内分する点Pの座標は、内分点の公式を用いて求められます。

$P = (\frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 1}{2 + 1}, \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 4}{2 + 1})$

(3) 三角形ABCの重心Gの座標は、各頂点の座標の平均を取ることで求められます。つまり、

$G = (\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3})$

ここで、$x_A = 1, y_A = 4, x_B = 1, y_B = 1$であり、$G = (-1, 3)$です。点Cの座標を$(x_C, y_C)$とすると、以下の式が成り立ちます。

$\frac{1 + 1 + x_C}{3} = -1$

$\frac{4 + 1 + y_C}{3} = 3$

これらの式を解いて、$x_C, y_C$を求めます。

(4) 線分BCを3:2に外分する点Qの座標は、外分点の公式を用いて求められます。点B(1, 1), 点C($x_C$, $y_C$)に対して、

$Q = (\frac{3 \cdot x_C - 2 \cdot 1}{3 - 2}, \frac{3 \cdot y_C - 2 \cdot 1}{3 - 2})$

上で求めたCの座標を代入して計算します。

(1)

$M = (\frac{1 + (-1)}{2}, \frac{4 + 3}{2}) = (\frac{0}{2}, \frac{7}{2}) = (0, \frac{7}{2})$

(2)

$P = (\frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 1}{2 + 1}, \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 4}{2 + 1}) = (\frac{3}{3}, \frac{6}{3}) = (1, 2)$

(3)

$\frac{1 + 1 + x_C}{3} = -1$

$2 + x_C = -3$

$x_C = -5$

$\frac{4 + 1 + y_C}{3} = 3$

$5 + y_C = 9$

$y_C = 4$

よって、C = (-5, 4)

(4)

$Q = (\frac{3 \cdot (-5) - 2 \cdot 1}{3 - 2}, \frac{3 \cdot 4 - 2 \cdot 1}{3 - 2}) = (\frac{-15 - 2}{1}, \frac{12 - 2}{1}) = (-17, 10)$

3. 最終的な答え

(1) M(0, 7/2)

(2) P(1, 2)

(3) C(-5, 4)

(4) Q(-17, 10)