与えられた式 $\sqrt{5\sqrt{30}} + \sqrt{7\sqrt{42}}$ を計算して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{5\sqrt{30}} + \sqrt{7\sqrt{42}}$ を計算して簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、二重根号を解消するために、与えられた式を以下のように変形します。

$\sqrt{5\sqrt{30}} = \sqrt{\sqrt{25 \cdot 30}} = \sqrt{\sqrt{750}}$

$\sqrt{7\sqrt{42}} = \sqrt{\sqrt{49 \cdot 42}} = \sqrt{\sqrt{2058}}$

ここで、$750 = 25 \cdot 30 = 5^2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 5^3 \cdot 6 = 25 \cdot 30$, $2058 = 49 \cdot 42 = 7^2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 7^3 \cdot 6 = 49 \cdot 42$であることを利用します。

与えられた式は $\sqrt{\sqrt{750}} + \sqrt{\sqrt{2058}}$ となります。

しかし、二重根号を直接解消することは難しいので、別の方法を試します。

$\sqrt{5\sqrt{30}} = \sqrt{5 \sqrt{6 \cdot 5}} = \sqrt{\sqrt{25 \cdot 30}} = \sqrt{\sqrt{750}} = \sqrt[4]{750}$

$\sqrt{7\sqrt{42}} = \sqrt{7 \sqrt{6 \cdot 7}} = \sqrt{\sqrt{49 \cdot 42}} = \sqrt{\sqrt{2058}} = \sqrt[4]{2058}$

ここで、$\sqrt{30} = \sqrt{5 \cdot 6}$, $\sqrt{42} = \sqrt{7 \cdot 6}$であることに注目すると、

$\sqrt{5\sqrt{30}} + \sqrt{7\sqrt{42}} = \sqrt{5\sqrt{5 \cdot 6}} + \sqrt{7\sqrt{7 \cdot 6}}$

ここで、$x=\sqrt{5\sqrt{30}} + \sqrt{7\sqrt{42}}$ の二乗を計算してみます。

$x^2 = (\sqrt{5\sqrt{30}} + \sqrt{7\sqrt{42}})^2 = 5\sqrt{30} + 7\sqrt{42} + 2 \sqrt{5\sqrt{30}} \sqrt{7\sqrt{42}} = 5\sqrt{30} + 7\sqrt{42} + 2 \sqrt{35 \sqrt{30 \cdot 42}} = 5\sqrt{30} + 7\sqrt{42} + 2 \sqrt{35 \sqrt{6 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}} = 5\sqrt{30} + 7\sqrt{42} + 2 \sqrt{35 \sqrt{36 \cdot 35}} = 5\sqrt{30} + 7\sqrt{42} + 2 \sqrt{35 \cdot 6 \sqrt{35}} = 5\sqrt{30} + 7\sqrt{42} + 12 \sqrt{35} \sqrt{\sqrt{35}}$

この方法はうまくいかないので、別の方法を試します。

$\sqrt{5\sqrt{30}} = \sqrt{\sqrt{25 \cdot 30}} = \sqrt{\sqrt{750}}$

$\sqrt{7\sqrt{42}} = \sqrt{\sqrt{49 \cdot 42}} = \sqrt{\sqrt{2058}}$

$\sqrt{5\sqrt{30}} + \sqrt{7\sqrt{42}} = \sqrt{5\sqrt{5 \cdot 6}} + \sqrt{7\sqrt{7 \cdot 6}}$

$x = \sqrt{5\sqrt{30}}+\sqrt{7\sqrt{42}}$

$x = \sqrt{\sqrt{25 \times 30}}+\sqrt{\sqrt{49 \times 42}}$

$x = \sqrt{\sqrt{5^2 \times 5 \times 6}} + \sqrt{\sqrt{7^2 \times 7 \times 6}}$

$x = \sqrt{\sqrt{5^3 \times 6}} + \sqrt{\sqrt{7^3 \times 6}}$

$x = \sqrt{25\sqrt{6}} + \sqrt{49\sqrt{6}}$

$x = 5\sqrt[4]{6}+7\sqrt[4]{6}$

$x = (5+7)\sqrt[4]{6} = 12\sqrt[4]{6}$

3. 最終的な答え

$12\sqrt[4]{6}$