与えられた式 $(a - 2b)^2 (a + 2b)^2$ を展開し、簡略化してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a - 2b)^2 (a + 2b)^2$ を展開し、簡略化してください。

2. 解き方の手順

まず、$(a - 2b)(a + 2b)$ を計算します。これは、$A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ の公式を利用した差の二乗の形になります。

ここで、$A = a$、$B = 2b$ とすると、

$(a - 2b)(a + 2b) = a^2 - (2b)^2 = a^2 - 4b^2$ となります。

次に、元の式は$(a - 2b)^2 (a + 2b)^2 = [(a - 2b)(a + 2b)]^2$ と書き換えることができます。

先ほど計算したように、 $(a - 2b)(a + 2b) = a^2 - 4b^2$ なので、

$[(a - 2b)(a + 2b)]^2 = (a^2 - 4b^2)^2$ を計算します。

$(a^2 - 4b^2)^2 = (a^2)^2 - 2(a^2)(4b^2) + (4b^2)^2 = a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$ となります。

3. 最終的な答え

$a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$