任意の実数 $x, y$ に対して、不等式 $(x+y)^3 \leq k(x^3 + y^3)$ が成立するような実数 $k$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

任意の実数 $x, y$ に対して、不等式 $(x+y)^3 \leq k(x^3 + y^3)$ が成立するような実数 $k$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形する。

$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

したがって、不等式は以下のように書き換えられる。

$x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \leq k(x^3 + y^3)$

$3x^2y + 3xy^2 \leq (k-1)(x^3 + y^3)$

ここで $x=y=1$ を代入すると

$3 + 3 \leq (k-1)(1+1)$

$6 \leq 2(k-1)$

$3 \leq k-1$

$4 \leq k$

次に $y=tx$ ($t>0$)とおくと

$3x^2(tx) + 3x(tx)^2 \leq (k-1)(x^3 + (tx)^3)$

$3tx^3 + 3t^2x^3 \leq (k-1)(x^3 + t^3x^3)$

$3t + 3t^2 \leq (k-1)(1+t^3)$

$3t(1+t) \leq (k-1)(1+t^3)$

$k-1 \geq \frac{3t(1+t)}{1+t^3}$

$k \geq \frac{3t(1+t)}{1+t^3} + 1$

ここで $f(t) = \frac{3t(1+t)}{1+t^3} + 1$ の最大値を求めることを考える。

$t=1$のとき $f(1) = \frac{3(1)(1+1)}{1+1^3} + 1 = \frac{6}{2} + 1 = 3 + 1 = 4$

$k \geq 4$ であることを示す。

$k = 4$のとき、$(x+y)^3 \leq 4(x^3+y^3)$となることを示す。

$4(x^3+y^3) - (x+y)^3 = 4x^3 + 4y^3 - (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) = 3x^3 + 3y^3 - 3x^2y - 3xy^2 = 3(x^3 - x^2y - xy^2 + y^3) = 3(x^2(x-y) - y^2(x-y)) = 3(x^2-y^2)(x-y) = 3(x-y)(x+y)(x-y) = 3(x-y)^2(x+y) \geq 0$

したがって、$k \geq 4$

3. 最終的な答え

$k \geq 4$