$a>0$, $b>0$ のとき、次の不等式を証明し、また、等号が成り立つ場合を調べる。 $(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})(a+b) \ge 4$

1. 問題の内容

$a>0$, $b>0$ のとき、次の不等式を証明し、また、等号が成り立つ場合を調べる。

$(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})(a+b) \ge 4$

2. 解き方の手順

まず、左辺を展開する。

$(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})(a+b) = \frac{b}{a}a + \frac{b}{a}b + \frac{a}{b}a + \frac{a}{b}b$

$= b + \frac{b^2}{a} + \frac{a^2}{b} + a$

$= a+b + \frac{b^2}{a} + \frac{a^2}{b}$

相加相乗平均の不等式より、

$\frac{b^2}{a} + \frac{a^2}{b} \ge 2\sqrt{\frac{b^2}{a}\frac{a^2}{b}} = 2\sqrt{ab}$

また、$a+b \ge 2\sqrt{ab}$

したがって、

$a+b + \frac{b^2}{a} + \frac{a^2}{b} \ge 2\sqrt{ab} + 2\sqrt{ab} = 4\sqrt{ab}$

しかし、この不等式は$\ge 4$を示すものではない。

別の方法を考える。再度展開した式を利用する。

$a+b + \frac{b^2}{a} + \frac{a^2}{b}$

ここで、相加相乗平均の不等式を$\frac{b^2}{a}$ と $\frac{a^2}{b}$ に適用するのではなく、$a$と$\frac{b^2}{a}$, $b$と$\frac{a^2}{b}$にそれぞれ適用する。

$a+\frac{b^2}{a} \ge 2\sqrt{a\cdot\frac{b^2}{a}} = 2\sqrt{b^2} = 2|b| = 2b$ (なぜなら$b>0$)

$b+\frac{a^2}{b} \ge 2\sqrt{b\cdot\frac{a^2}{b}} = 2\sqrt{a^2} = 2|a| = 2a$ (なぜなら$a>0$)

したがって、

$a+b + \frac{b^2}{a} + \frac{a^2}{b} = (a+\frac{b^2}{a}) + (b+\frac{a^2}{b}) \ge 2b + 2a = 2(a+b)$

この式では$4$と比較できない。

再度別の方法を試す。 相加相乗平均ではなく、以下の不等式を利用する。

$x^2+y^2 \ge \frac{(x+y)^2}{2}$

$\frac{b^2}{a} + \frac{a^2}{b} \ge \frac{(\frac{b}{\sqrt{a}})^2+(\frac{a}{\sqrt{b}})^2}{2} \ge \frac{(\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}})^2}{2}$

$(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})(a+b) \ge 4$ を示すために、

$\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \ge 2$ (相加相乗平均)

$a+b \ge 2\sqrt{ab}$ (相加相乗平均)

したがって、

$(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})(a+b) \ge 2 \cdot 2\sqrt{ab} = 4\sqrt{ab}$

この不等式はまだ目的のものを証明できていない。

もう一度、$(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})(a+b)$を展開し、

$b + \frac{b^2}{a} + a + \frac{a^2}{b} \ge 4$ を示す。

$a+b+\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a} \ge 4$

$a>0, b>0$なので、コーシー・シュワルツの不等式を使うことを考える。

$(a+b)(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}) \ge (a+b)^2$

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a} \ge a+b$

よって、$a+b+\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a} \ge a+b+a+b=2(a+b)$

$a+b \ge 2\sqrt{ab}$なので、

$2(a+b) \ge 4\sqrt{ab}$

再度、コーシーシュワルツの不等式を使用する。$(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})(a+b)$に対して、$((\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2)((\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}})^2+(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2)$を考える。

$(\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2)((\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}})^2+(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2)\ge(\sqrt{a}\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2$

$(a+b)(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})\ge(\sqrt{b}+\sqrt{a})^2=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b+2\sqrt{ab}$

したがって、

$(a+b)(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}) = (a+b)(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}) \ge (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b+2\sqrt{ab}$.

$a+b \ge 2\sqrt{ab}$. よって、$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 \ge 2\sqrt{ab}+2\sqrt{ab} = 4\sqrt{ab}$.

$(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})(a+b) \ge (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b+2\sqrt{ab}$

$a+b \ge 2\sqrt{ab}$より、

$a+b+2\sqrt{ab} \ge 2\sqrt{ab}+2\sqrt{ab}=4\sqrt{ab}$

$(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}) \ge 2$であり、$a+b \ge 2\sqrt{ab}$。 したがって、$(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})(a+b) \ge 2\cdot 2 =4$を示せば良い。 $(\sqrt{\frac{b}{a}}-\sqrt{\frac{a}{b}})^2 \ge 0$より、$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}-2 \ge 0$となるので、$\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \ge 2$となる。また、$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$より、$a+b-2\sqrt{ab}\ge 0$となるので、$a+b \ge 2\sqrt{ab}$となる。以上より、$(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})(a+b) \ge 2\cdot 2 = 4$となる。

等号成立条件を考える。

$\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$かつ、$a=b$のとき、等号が成立する。したがって、$a=b$の時、等号成立。

3. 最終的な答え

$(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})(a+b) \ge 4$

等号が成り立つのは $a=b$ のとき。