$x = \frac{1}{3-\sqrt{3}}$、 $y = \frac{1}{3+\sqrt{3}}$のとき、以下の式の値を求めます。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2+y^2$ (4) $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{3-\sqrt{3}}$、 $y = \frac{1}{3+\sqrt{3}}$のとき、以下の式の値を求めます。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2+y^2$

(4) $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$の分母を有理化します。

$x = \frac{1}{3-\sqrt{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})} = \frac{3+\sqrt{3}}{9-3} = \frac{3+\sqrt{3}}{6}$

$y = \frac{1}{3+\sqrt{3}} = \frac{3-\sqrt{3}}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{3-\sqrt{3}}{9-3} = \frac{3-\sqrt{3}}{6}$

(1) $x+y = \frac{3+\sqrt{3}}{6} + \frac{3-\sqrt{3}}{6} = \frac{3+\sqrt{3}+3-\sqrt{3}}{6} = \frac{6}{6} = 1$

(2) $xy = \frac{3+\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{3-\sqrt{3}}{6} = \frac{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{36} = \frac{9-3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

(3) $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 1^2 - 2 \cdot \frac{1}{6} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

(4) $\frac{y}{x}+\frac{x}{y} = \frac{y^2+x^2}{xy} = \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{6}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{1} = \frac{12}{3} = 4$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 1$

(2) $xy = \frac{1}{6}$

(3) $x^2+y^2 = \frac{2}{3}$

(4) $\frac{y}{x}+\frac{x}{y} = 4$