与えられた関数 $y = \frac{x^2-x-1}{x^2+x-1}$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{x^2-x-1}{x^2+x-1}$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使って解きます。商の微分公式は次の通りです。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = x^2 - x - 1$、$v = x^2 + x - 1$ とします。

まず、$u$ と $v$ の微分を求めます。

$u' = 2x - 1$

$v' = 2x + 1$

次に、商の微分公式に当てはめます。

$y' = \frac{(2x-1)(x^2+x-1) - (x^2-x-1)(2x+1)}{(x^2+x-1)^2}$

分子を展開して整理します。

$y' = \frac{(2x^3 + 2x^2 - 2x - x^2 - x + 1) - (2x^3 - 2x^2 - 2x + x^2 - x - 1)}{(x^2+x-1)^2}$

$y' = \frac{(2x^3 + x^2 - 3x + 1) - (2x^3 - x^2 - 3x - 1)}{(x^2+x-1)^2}$

$y' = \frac{2x^3 + x^2 - 3x + 1 - 2x^3 + x^2 + 3x + 1}{(x^2+x-1)^2}$

$y' = \frac{2x^2 + 2}{(x^2+x-1)^2}$

$y' = \frac{2(x^2 + 1)}{(x^2+x-1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{2(x^2 + 1)}{(x^2+x-1)^2}$